Unió

Per a altres significats, vegeu «Unió (desambiguació)».

Unió de dos conjunts A i B

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea el conjunt, anomenat conjunt unió o conjunt reunió, format pels elements que pertanyen almenys a un dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol ${\displaystyle \cup }$.^[1][2][3]

Per exemple:

Donat ${\displaystyle A=\{a,e,i,s\}}$ i ${\displaystyle B=\{a,e,f,h\}}$, si definim ${\displaystyle C=A\cup B}$, llavors ${\displaystyle C=\{a,e,i,s,f,h\}}$. ${\displaystyle C=A\cup B}$ es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.^[4]

${\displaystyle A\cup A=A}$

Element neutre

El conjunt buit ${\displaystyle \emptyset }$ és l'element neutre de la unió.

${\displaystyle A\cup \emptyset =A}$

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb què s'uneixen els conjunts.^[5]

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb què es facin les unions.

${\displaystyle A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt ${\displaystyle A}$ i el seu complementari ${\displaystyle {\overline {A}}}$, respecte d'un conjunt ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle R}$ és el conjunt unió de ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle {\overline {A}}}$.

${\displaystyle A\cup {\overline {A}}=R}$

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que ${\displaystyle A\supset B}$ (A inclou B), llavors ${\displaystyle A\cup B=A}$

Relacions entre la unió i la intersecció: propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

${\displaystyle A\cup (B\cap C\cap D...)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\cap (A\cup D)}$ ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

${\displaystyle A\cap (B\cup C\cup D...)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\cup (A\cap D)}$ ...

Referències

1. «Union Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)». [Consulta: 18 gener 2022].
2. «Union». [Consulta: 18 gener 2022].
3. pensante, El. «Operación de Unión (Álgebra de conjuntos) – El pensante» (en castellà). [Consulta: 18 gener 2022].
4. «Union of sets – Definition and Examples» (en anglès americà). [Consulta: 18 gener 2022].
5. «What Is a Union in Mathematics?» (en anglès). [Consulta: 18 gener 2022].

Vegeu també

• Teoria de conjunts

Enllaços externs

• Union of Sets. Math Goodies (anglès)

Viccionari