Intarsizzioni

In matematica, è in particulari in a tiuria di l'insemi, l' intarsizzioni (o intersezzione) (simbulu ${\displaystyle \cap }$) di dui insemi ${\displaystyle A}$ è ${\displaystyle B}$ hè l'insemu di l'elementi chì appartenini à tempu sighi à l'insemu ${\displaystyle A}$ sighi à insemu ${\displaystyle B}$.

L'intarsizzioni hè un'uparazioni binaria. In l'algebra booleana currispondi à l'uparatori AND è, in logica, à a cunghjunzioni.

Difinizioni

L'intarsizzioni di dui insemi ${\displaystyle A}$ è ${\displaystyle B}$ si denota cumunamenti incù ${\displaystyle A\cap B}$. Dunqua ${\displaystyle x}$ hè un elementu di ${\displaystyle A\cap B}$ s'è è solu s'è ${\displaystyle x}$ hè à tempu un elementu di l'insemi ${\displaystyle A}$ è ${\displaystyle B}$, in simbuli:

${\displaystyle (x\in A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B).}$

Più in generali, data una famidda qualsiasi ${\displaystyle \{A_{\alpha },\alpha \in {\mathcal {I}}\}}$ d'insemi, l'intarsizzioni hè difinita com'è l'insemu ${\displaystyle \cap _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }}$ à u quali un elementu ${\displaystyle x}$ apparteni s'è è solu s'è ${\displaystyle x}$ apparteni à ugnunu di l'${\displaystyle A_{\alpha }}$.

Prubità

Diagramma di Eulero-Venn par l'intarsizzioni.

intarsizzioni d'una sfera è un cubu in parti suprapposti

Da a difinizioni suvita subitu ch'è l'intarsizzioni hè un'uparazioni cummutativa. In simbuli:

${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$

Infatti

${\displaystyle x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\Leftrightarrow x\in B\wedge x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.}$

L'intarsizzioni hè inoltri un'uparazioni assuciativa:

${\displaystyle \left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right).}$

Infatti

${\displaystyle x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\wedge x\in C\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\Leftrightarrow }$

${\displaystyle x\in A\wedge x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).}$

Par quissa si pò rinuncià à i parentesi quand'iddu si cunsidarighja l'intarsizzioni di più di dui insemi, scrivindu simpliciamenti ${\displaystyle A\cap B\cap C}$.

Asempii

Com'è asempiu elementari si devini cunsidarà dui insemi finiti (veni à dì incù un numaru finitu d'elementi) ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ è ${\displaystyle B=\{2,3,4\}}$. In stu casu si pò virificà dirittamenti par ogni elementu di ${\displaystyle A}$ s'iddu hè ancu elementu di ${\displaystyle B}$ (o viciversa), uttinindu

${\displaystyle A\cap B=\{2,3\}.}$

Un asempiu un pocu più astrattu hè datu da dui insemi difiniti par via di ditarminati prubità di i so elementi: sighini ${\displaystyle A}$ l'insemu di i numari intrei divisibili par ${\displaystyle 4}$ è ${\displaystyle B}$ l'insemu di i numari intrei divisibili par ${\displaystyle 6}$. In stu casu, ${\displaystyle A\cap B}$ hè l'insemu di i numari intrei divisibili sighi par ${\displaystyle 4}$ sighi par ${\displaystyle 6}$, vali à dì tutti i numari intrei divisibili par ${\displaystyle 12}$.

L'insemi di i Numari pari è di i Numari dispari sò disghjunti; infatti un numaru ùn pò micca essa à tempu paru è disparu. L'intarsizzioni di sti dui insemi hè dunqua l'insemu biotu.

Da vida dinò

• Unioni (matematica)
• Diffarenza (matematica)
• Tiuria di l'insemi

Noti

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.