Toru (giumitria)

In giumitria u toru o turoidi hè una superficia à forma di ciambedda. Pò essa ottinuta com'è superficia di rivuluzioni, fendu voglia una circumfarenza, a generatrici, intornu à un assi di rutazioni appartinenti à listessu pianu ch'è a generatrici, ma disghjuntu da edda.

U terminu diriveghja da u latinu torus chì si rifiria, frà l'altri cosi, à un tipu di cuscinu à forma di ciambedda.

U toru

U toru in a giumitria euclidea

Ripprisintazioni par via di l'equazioni parametrichi

Una ripprisintazioni parametrica di u toru, in l'usuali spaziu euclideu tridiminsiunali, hè data da:

${\displaystyle x(p,t)=(R+r\,\cos p)\cos t}$

${\displaystyle y(p,t)=(R+r\,\cos p)\sin t}$

${\displaystyle z(p,t)=r\,\sin p}$

induva ${\displaystyle t,p}$ varieghjani trà 0 è ${\displaystyle 2\pi }$, ${\displaystyle R>0}$ hè a distanza da u centru di u tubu à u centru di u toru è ${\displaystyle r>0}$ hè u raghju di u tubu.

L'equazioni in cuurdinati cartesiani, chì individueghja un toru induva l'assi di simitria cuincidi incù l'assi z, hè data da:

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}$

Prubità metrichi

L'aria esterna è u vulumu di u toru sò dati rispittivamenti da:

${\displaystyle A=2\pi r\ 2\pi R=4\pi ^{2}Rr}$,

${\displaystyle V=\pi r^{2}\ 2\pi R=2\pi ^{2}Rr^{2}.}$

Tupulugia di u toru

Custruzzioni

Un toru tupulogicu hè un spaziu tupulogicu omeumorfu à un toru in u spaziu euclideu. Quiddu pò essa difinitu com'è u pruduttu di dui circumfarenzi S¹ × S¹. L'equazioni parametrichi ch'è avemu datu par u toru in R³ individueghjani un omeumurfisimu incù l'insemu S¹ × S¹.

Un modu equivalenti par custruiscia un toru tupulogicu hè quiddu di cunsidarà un quatratu è "incuddà" i lati opposti. Quissa currispondi à difiniscia nantu à u quatratu

Q = [0,1] × [0,1] ⊆ R²

a rilazioni d'equivalenza ${\displaystyle \sim _{T}}$ tali chì/ch'è ${\displaystyle x\sim _{T}y}$ s'è è solu s'è ${\displaystyle x=y}$ hè un unicu puntu internu oppuri ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle y}$ sò annantu à dui lati opposti è ani una cuurdinata uguali. Incù sta rilazioni d'equivalenza si pò difiniscia u spaziu quuzienti ${\displaystyle Q/\sim _{T}}$ chì hè par appuntu un toru tupulogicu.

Un antru modu par difiniscia u toru tupulogicu hè quiddu di custruiscia u spaziu quuzienti di u R² rispettu à u sottugruppu Z².

Prubità tupulogichi

• U toru hè una superficia, dunqua una varietà diffarinzevuli di diminsioni 2.
• U toru hè cumpattu, cunnessu, ma ùn simpliciamenti cunnessu. Infatti u so gruppu fundamintali hè ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.
• A carattaristica d'Euleru di u toru hè zeru.
• U genaru di u toru hè 1.

Suddivisioni di u toru chì richiedi 7 culori

• Nantu à u toru ùn s'appiegani micca molti tiuremi di a giumitria piana. Par asempiu, ùn privali micca u tiurema di i quattru culori. In u dissegnu à fiancu u toru hè statu divisu in setti rigioni, à dui à dui tutti cunfinanti: sò dunqua nicissarii setti culori diffarenti affinch'è dui rigioni cunfinanti ùn aghjini micca listessu culori. Hè stata dimustrata una generalisazioni di u Tiurema di i quattru culori da aquali cunsegui chì setti culori sò sufficienti par culurà qualsiasi suddivisioni di u toru.

U toru solidu

U toru solidu hè l'ughjettu tridiminsiunali dilimitatu da u toru (toru inclusu). Si tratta veni à dì di a purzioni di spaziu cuntinuta à l'internu di u toru inclusa a parti di spaziu chì a dilimiteghja. Tupulugicamenti, si tratta d'un spaziu omeumorfu à u pruduttu ${\displaystyle D\times S^{1}}$ di u discu bidiminsiunali

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}}$

incù a circumfarenza ${\displaystyle S^{1}}$. Si tratta d'una 3-varietà incù bordu; u bordu cunsisti par appuntu in u toru. U so gruppu fundamintali hè ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

U toru solidu hè un ughjettu impurtanti in u studiu di i 3-varietà è più in generali in a tupulugia di a diminsioni bassa.

Da veda dinò

• Superficia (matematicu)
• Cilindru (giumitria)
• Sfera
• Superficia torica

Liami esterni

• I sizioni circulari d'un toru Archiviu 2016-03-06 at the Wayback Machine
• Torus Games: ghjochi (scarichevuli gratuitamenti) chì illustrani a tupulugia di u toru è di a butteglia di Klein

Noti

Da vede dinò

• Giumitria piana
• Angulu rettu
• Catetu
• Mezaretta
• Perimetru
• Sigmentu
• Triangulu isusceli
• Triangulu equilateru
• Tiurema di Pitagora
• Iputenusa
• Tangenti
• Trigunumitria
• Triangulu
• Uttaedru

Fonti

'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.