Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Cauchyovo limitní odmocninové kritérium je v matematice kritérium konvergence nekonečné řady. Závisí na hodnotě

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

kde ${\displaystyle a_{n}}$ jsou členy řady a říká, že řada konverguje absolutně, jestliže tato hodnota je menší než jedna, a diverguje, pokud je větší než jedna. Limitní odmocninové kritérium je obzvláště užitečné pro mocninné řady.

Popis kritéria

Rozhodovací diagram pro Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Toto kritérium konvergence řad navrhl Augustin Louis Cauchy a publikoval jej ve své učebnici Cours d'analyse (1821)^[1]. Pro řadu

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

používá Cauchyovo kritérium hodnotu

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

kde „lim sup“ označuje limes superior, případně ∞+.^[2] Pokud konverguje výraz

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

pak se rovná C a tato hodnota může být použita jako kritérium konvergence.

Cauchyův kritérium říká, že:

• pokud C < 1, pak řada konverguje absolutně,
• pokud C > 1, pak řada diverguje,
• pokud C = 1 a limita se blíží striktně shora, pak řada diverguje,
• jinak je test nerozhodný (řada může divergovat, konvergovat absolutně nebo konvergovat podmíněně).

Existují řady, pro které C = 1 a řada konverguje, například ${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$ a existují jiné, pro které C = 1 a řada diverguje, například ${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$.

Aplikace na mocninné řady

Toto kritérium lze používat pro mocninné řady

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-p)^{n}}$

kde koeficienty c_n a střed p jsou komplexní čísla a argument z je komplexní proměnná.

Členy této řady jsou a_n = c_n(z − p)ⁿ. Pak lze použít odmocninové kritérium na a_n, jako je uvedeno výše. Pamatujte, že někdy řada jako toto se nazývá mocninná řada "okolo p", protože poloměr konvergence je poloměr R největší interval nebo kruh se středem v p tak, že řada bude konverguje pro všechny body z striktně uvnitř (konvergence na hranici intervalu nebo obecně kruhu musí být zkontrolována odděleně). Důsledek odmocninového kritéria aplikovaný na takovou mocninnou řadu je, že poloměr konvergence je přesně ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$, přičemž je ∞, pokud je jmenovatel 0.

Důkaz

Důkaz konvergence řady Σa_n vychází ze srovnávacího kritéria. Pokud pro všechny n ≥ N (N nějaké pevné přirozené číslo) platí ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1,}$ pak ${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}<1}$. Protože geometrická řada ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ konverguje, pak podle srovnávacího kritéria konverguje i ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$. Tedy Σa_n konverguje absolutně.

Pokud ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$ pro nekonečně mnoho n, pak a_n nekonverguje k 0, a tedy řada diverguje.

Důkaz důsledku: U mocninné řady Σa_n = Σc_n(z − p)ⁿ jsme výše viděli, že řada konverguje, pokud existuje N takové, že pro všechna n ≥ N je

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}<1,}$

což je ekvivalentní s

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |z-p|<1}$

pro všechna n ≥ N. Z toho plyne, že aby řada konvergovala, musí platit ${\displaystyle |z-p|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$ pro všechna dostatečně velká n. To je ekvivalentní s

${\displaystyle |z-p|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

takže ${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$ Nyní jediné jiné místo, kde je možná konvergence, je pokud

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(z-p)^{n}|}}=1,}$

(protože v bodech, kde > 1 bude řada divergovat), což poloměr konvergence nezmění, protože se jedná pouze o body ležící na hranici intervalu nebo kruhu, takže

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Root test na anglické Wikipedii.

1. BOTTAZZINI, Umberto. The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. [s.l.]: Springer-Verlag, 1986. Dostupné online. ISBN 978-0-387-96302-0. S. 116–117. . Překlad z italštiny Warren Van Egmond.
2. Terrence Tichaona Dobbie (2017)

Související články

• Řada (matematika)
• Kritéria konvergence řad
• D'Alembertovo kritérium
• Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence

Literatura

• JARNÍK, Jiří. Posloupnosti a řady. Praha: Mladá fronta, 1979. Dostupné online. Kapitola 3, s. 68–69. 
• Knopp, Konrad. Infinite Sequences and Series. New York: Dover publications, Inc., 1956. Dostupné online. ISBN 0-486-60153-6. Kapitola 3.2. (anglicky) 
• WHITTAKER, E. T.; WATSON, G. N. A Course in Modern Analysis. 4. vyd. [s.l.]: Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3. Kapitola 2.35. (anglicky) 
• Proof of Cauchy's root test [online]. PlanetMath [cit. 2020-01-30]. Dostupné online. (anglicky)