Ciferný součet

Ciferný součet je pojem z oblasti aritmetiky. Ciferným součtem daného čísla v dané číselné soustavě rozumíme součet všech cifer (číslic) v jeho zápisu v této číselné soustavě. O ciferném součtu v desítkové soustavě se často hovoří pouze jako o ciferném součtu.

Příklad

Máme číslo ${\displaystyle 12345}$ (zapsané v desítkové soustavě). Jeho ciferný součet (v desítkové soustavě) získáme takto: ${\displaystyle 1+2+3+4+5=15}$

Vzorec

Ciferný součet přirozeného čísla ${\displaystyle n}$ v soustavě o základu ${\displaystyle p}$ je roven

${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}{\frac {1}{p^{i}}}\left(n\,{\bmod {\,}}p^{i+1}-n\,{\bmod {\,}}p^{i}\right)}$, kde ${\displaystyle N=\left\lfloor {\frac {\log n}{\log p}}\right\rfloor =\left\lfloor \log _{p}n\right\rfloor }$

Použití

Ověření dělitelnosti

Pomocí ciferného součtu (v desítkové soustavě) lze snadno ověřit, zda je dané číslo dělitelné ${\displaystyle 3}$ či ${\displaystyle 9}$. Platí totiž následující tvrzení:

Číslo je dělitelné ${\displaystyle 3}$ resp. ${\displaystyle 9}$, právě když je jeho ciferný součet (v desítkové soustavě) dělitelný ${\displaystyle 3}$ resp. ${\displaystyle 9}$.

Tedy například číslo ${\displaystyle 87522}$ je dělitelné ${\displaystyle 3}$, ale ne ${\displaystyle 9}$ (ciferný součet je ${\displaystyle 24}$). Číslo ${\displaystyle 132507}$ je dělitelné i ${\displaystyle 9}$ (ciferný součet je ${\displaystyle 18}$).

Pro jinou soustavu než desítkovou takové tvrzení ovšem neplatí: například číslo ${\displaystyle 6}$ zapsáno v pětkové soustavě je ${\displaystyle 11}$, tedy ciferný součet je ${\displaystyle 2}$, ačkoli je toto číslo dělitelné ${\displaystyle 3}$. Platí však zobecnění, že v n-ární soustavě je číslo dělitelné (n-1), právě když jeho ciferný součet v této soustavě je dělitelný (n-1): např. číslo ${\displaystyle 8}$ zapsáno v pětkové soustavě je ${\displaystyle 13}$, tedy ciferný součet je ${\displaystyle 4}$, tedy číslo dělitelné ${\displaystyle 4}$.

Jiné algoritmy

Ciferný součet se používá v mnoha metodách ověřování číselné informace pomocí kontrolního součtu nebo kontrolní číslice. Příklad aplikace: stanovení ciferného součtu je jedním z kroků při určení kontrolní cifry evidenčního čísla železničního vozidla.

Ciferný součet je základní operací pro stanovení ciferace, používané v matematice i některých pseudovědeckých disciplínách (numerologie).

Související články

• Číselná soustava
• Dělitelnost
• Ciferace