D'Alembertovo kritérium

D'Alembertovo kritérium, též nazývané podílové kritérium, je kritérium konvergence nekonečné řady, poprvé publikované Jeanem le Rond d'Alembertem.

Znění kritéria

Nechť ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ je nekonečná řada, nechť existuje limita ${\displaystyle L:=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.}$

Potom:

• Pokud L < 1, řada absolutně konverguje.
• Pokud L > 1, řada nekonverguje.
• Pokud L = 1, d'Alembertovo kritérium není použitelné.

V případe, že limita ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ neexistuje, je možné použít následující zevšeobecnění kritéria:

• Pokud ${\displaystyle \lim {\textrm {sup}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$, řada absolutně konverguje.
• Podmínka, že pro nekonečně mnoho n platí nerovnost ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$, není postačující pro rozhodnutí o divergenci či konvergenci řady.
• Pokud neplatí ani jedna z předcházejících možností, kritérium není použitelné.

Případy, kdy L = 1

Pokud není d'Alembertovo kritérium použitelné (neboť L = 1), je možné vyzkoušet ještě některá další související, avšak jemnější kritéria.

(Limitní) Raabeovo kritérium

S tímto kritériem přišel Joseph Ludwig Raabe. Platí, že pokud ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ je nekonečná řada s kladnými členy ${\displaystyle a_{n}}$ a

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)=L,}$

tak

• Pokud ${\displaystyle L>1}$ (včetně ${\displaystyle L=\infty }$), tak řada konverguje.
• Pokud ${\displaystyle L<1}$, řada diverguje.
• Pokud ${\displaystyle L=1}$, kritérium nelze použít.

(Obyčejné) Raabeovo kritérium

Pokud ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ je nekonečná řada s kladnými členy ${\displaystyle a_{n}}$ a existují ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,r>1}$ a ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ taková, že pro ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\geq r>1}$, tak řada konverguje.

Pokud naopak existuje ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ takové, že pro ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ platí ${\displaystyle n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)\leq 1}$, potom řada diverguje.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku D’Alembertovo kritérium na slovenské Wikipedii.

Související články

• Řada (matematika)
• Kritéria konvergence řad
• Cauchyovo limitní odmocninové kritérium

Portály: Matematika