Descartesův list

Descartesův list

Descartesův list je kubika - algebraická křivka třetího stupně, která má v kartézské soustavě souřadnic rovnici:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}$ .

Parametr ${\displaystyle 3a}$ je definován jako úhlopříčka čtverce, jehož strana se rovná délce největší tětivy smyčky.

Křivka tvoří smyčku v prvním kvadrantu s uzlem - dvojitým bodem v počátku a připomíná tvar listu po kterém byla pojmenována.

Její osou symetrie je přímka o rovnici: ${\displaystyle y=x}$ .

Bod A se nazývá vrchol, má souřadnice ${\displaystyle \left({\frac {3a}{2}},{\frac {3a}{2}}\right)}$ .

Její asymptota má rovnici ${\displaystyle x+y+a=0}$ .

Obsah vnitřní oblasti listu (mezi oblouky ${\displaystyle ACO}$ a ${\displaystyle ABO}$) je ${\displaystyle S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}}$

Obsah plochy mezi asymptotou a křivkou se rovná obsahu vnitřku smyčky ${\displaystyle \textstyle S_{2}=S_{1}={\frac {3}{2}}a^{2}}$ .

Historie

Poprvé byla rovnice křivky studována R. Descartem v roce 1638, ale vytvořil smyčku pouze v prvním kvadrantu, kde ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ jsou kladné hodnoty. Descartes věřil, že smyčka se opakuje symetricky ve všech čtyřech kvadrantech, ve formě čtyř okvětních lístků. V té době byla tato křivka nazývána jasmínovým květem.

Ve své moderní podobě byla tato křivka poprvé představena Ch. Huygensem v roce 1692 .

Rovnice

• V kartézské soustavě souřadnic podle definice:

${\displaystyle \textstyle x^{3}+y^{3}-3axy=0}$

• V polární soustavě souřadnic :

${\displaystyle \rho ={\frac {3a\cos \varphi \sin \varphi }{\cos ^{3}\varphi +\sin ^{3}\varphi }}}$ .

• Parametrická rovnice v kartézském systému:

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {3at}{1+t^{3}}}\\y={\frac {3at^{2}}{1+t^{3}}}\end{cases}}}$ kde ${\displaystyle t=\operatorname {tan} \varphi }$ .

Otočená křivka Descartesova listu

Často se znázorňuje o ${\displaystyle 135^{\circ }}$otočená křivka. Její rovnice vypadají takto:

• V pravoúhlém systému:

${\displaystyle y=\pm x{\sqrt {\frac {l+x}{l-3x}}}}$ kde ${\displaystyle l={\frac {3a}{\sqrt {2}}}}$

• Parametricky:

${\displaystyle x=l{\frac {p^{2}-1}{3p^{2}+1}},\ y=l{\frac {p(p^{2}-1)}{3p^{2}+1}}}$

• V polárních souřadnicích:

${\displaystyle \rho ={\frac {l\left(\sin ^{2}\varphi -\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi \left(\cos ^{2}\varphi +3\sin ^{2}\varphi \right)}}}$

Externí odkazy