Harmonická funkce definovaná na mezikruží. Harmonické funkce jsou právě ty funkce, které leží v jádruLaplaceova operátoru, který je důležitým diferenciálním operátorem.
Diferenciální operátor v matematice je operátor definovaný jako funkce operátoru derivace. Je užitečný především jako prostředek zápisu, který bere derivaci jako abstraktní operaci, která dostane funkci a vrátí jinou funkci (ve stylu funkce vyššího řádu v matematické informatice).
Nejčastěji používané diferenciální operátory jsou lineární, ale existují i nelineární diferenciální operátory, jako například Schwarzovská derivace.
Předpokládejme, že existuje zobrazení z prostoru funkcí do prostoru funkcí , a že funkce , taková, že je obrazem tj. Diferenciální operátor (anglickydifferential operator) je reprezentován jako lineární kombinace konečně generovaná a jeho derivacemi vyššího stupně jako například
kde množina nezáporných celých čísel se nazývá multi-index, se nazývá délka, jsou funkce ne nějakém otevřeném definičním oboru v n-rozměrném prostoru a
Výše uvedená derivace je stejná jako funkce, případně distribuce nebo hyperfunkce a případně .
Nejobvyklejším diferenciálním operátorem je samotný operátor provedení derivace. Nejobvyklejšími zápisy pro provedení první derivace podle proměnné x jsou:
Podle obvyklých matematických konvencí se argument diferenciálního operátoru obvykle píše vpravo od operátoru. Někdy se používá alternativní notace: výsledek použití operátoru na funkci vlevo od operátoru a vpravo od operátor a rozdíl získaný použitím diferenciálního operátor na funkce na obou stranách se označuje pomocí šipek takto:
kde pruh nad g(x) označuje hodnotu komplexně sdruženou ke g(x). Jestliže navíc přidáme podmínku, že f nebo g je zanedbatelné pro a , můžeme také definovat adjunkt operátoru T vztahem
Tento vzorec neexplicitně závisí na definici skalárního součinu. Proto se někdy používá jako definice sdruženého operátoru. Pokud se definuje tímto vzorcem, nazývá se formální adjunkt operátoru T.
Jestliže Ω je definiční obor v Rn a P je diferenciální operátor na Ω, pak adjunkt operátoru P je definovaný v L2(Ω) dualitou analogicky:
pro všechny hladké L2 funkce f, g. Protože hladké funkce jsou husté v L2, je takto definován adjunkt na husté podmnožině L2: P* je hustě definovaný operátor.
Sturmův–Liouvilleův operátor je dobře známým příkladem formálního samoadjungovaného operátoru. Tento lineární diferenciální operátor druhého řádu L lze zapsat ve tvaru
Tuto vlastnost lze dokázat pomocí definice formálního adjunktu uvedené výše.
Jakýkoli polynom v D s funkčními koeficienty je také diferenciální operátor. Diferenciální operátory můžeme také skládat podle pravidla
Přitom je nutné dávat pozor:
Za prvé, libovolné funkční koeficienty v operátoru D2 musí být diferencovatelné tolikrát, kolikrát vyžaduje aplikace operátoru D1. Abychom získali okruh takových operátorů, musíme předpokládat, že se používá derivace všech řádů koeficientů.
Za druhé, tento okruh nebude komutativní: operátor gD není obecně totéž jako Dg. Například v kvantové mechanice je základní následující vztah:
Podokruh operatorů, které jsou polynomy v D s konstantními koeficienty, naopak komutativní je. Může být charakterizován jinak: skládá se z translačně invariantních operátorů.
Jestliže R je okruh, nechť je nekomutativní polynomiální okruh nad R v proměnná D a X a I oboustranný ideál generovaný DX-XD-1,
pak okruh jednorozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů nad R je podílový okruh
.
Což je nekomutativní jednoduchý okruh.
Každý prvek lze jednoznačně zapsat jako R-lineární kombinaci jednočlenů tvaru
. To podporuje analogii Eukleidova algoritmu pro dělení polynomů.
Diferenciální moduly nad (pro standardní derivaci) mohou
být identifikovány s moduly nad .
Jestliže R je okruh, nechť je
nekomutativní polynomiální okruh nad R v proměnné
a I oboustranný ideál generovaný
prvky
pro všechny kde je Kroneckerovo delta,
pak okruh vícerozměrných polynomiálních diferenciálních operátorů nad R je podílový okruh
.
Což je nekomutativní jednoduchý okruh.
Každý prvek lze jednoznačně zapsat jako R-lineární kombinaci jednočlenů tvaru
.
Ekvivalentní, ale čistě algebraický popis lineárního diferenciálního operátoru je tento: R-lineární zobrazení P je lineární diferenciální operátor k-tého řádu, jestliže pro libovolnou k + 1 hladkou funkci máme
kde závorka je definována jako komutátor
Tato charakterizace lineárních diferenciálních operátorů ukazuje, že jsou jistými zobrazeními mezi moduly nad komutativní algebrou, dovolující koncept, aby byla chápána jako část komutativní algebry.