Distributivita

Distributivita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace vůči jiné binární operaci, říkající, že můžeme tuto operaci distribuovat přes jinou operaci. Je zobecněním běžné distributivity násobení vůči sčítání čísel, kdy můžeme roznásobit sčítání.

Definice

Binární operace ${\displaystyle *}$ je na množině ${\displaystyle S}$ distributivní vůči operaci ${\displaystyle +}$, jestliže pro každé ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ a ${\displaystyle z}$ v ${\displaystyle S}$ platí:

• ${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$;
• ${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$.

Příklady distributivity

Nejznámější příklady distributivní binárních operací je násobení (a ⋅ b) vůči sčítání (a + b) reálných čísel.

7 × (3 + 2) = 7 × 5 = 35 = 21 + 14 = (7 × 3) + (7 × 2)

Další ukázky distributivních binárních operací jsou například: násobení vůči sčítání komplexních čísel, násobení vektorů skalárem vůči jejich sčítání vektorů na vektorových prostorech, umocňování vůči násobení reálných nebo komplexních čísel (ovšem pouze zleva, zprava nikoliv – umocňování není komutativní operace).

Zvláštním příkladem je distributivita v Booleově algebře, neboť zde jsou dvě operace distributivní vůči sobě navzájem:

• ${\displaystyle x\lor (y\land z)=(x\lor y)\land (x\lor z)}$;
• ${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$.

Odkazy

Související články

• Komutativita
• Asociativita
• Aritmetika
• Algebraická struktura

Externí odkazy

• Distributivita v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Portály: Matematika