Duální prostor

Duální prostor nebo duální vektorový prostor je matematický pojem z oblasti funkcionální analýzy. Pro každý daný vektorový prostor ${\displaystyle V}$ existuje jeho jednoznačný duální prostor ${\displaystyle V^{*}}$, který sestává z množiny lineárních funkcionálů na ${\displaystyle V}$.

Rozlišujeme 2 typy duálních prostorů:

• algebraický duální prostor (je definován pro všechny vektorové prostory) a
• kontinuální duální prostor (množina všech spojitých lineárních funkcionálů v topologickém lineárním prostoru; jde o vektorový podprostor algebraického duálního prostoru ${\displaystyle V^{*}}$).

Definice

Nechť ${\displaystyle V}$ je vektorový prostor nad tělesem ${\displaystyle F}$. Duálním prostorem ${\displaystyle V^{*}}$ k prostoru ${\displaystyle V}$ nazýváme vektorový prostor všech lineárních funkcionálů ${\displaystyle \varphi :V\to F}$, kde operace sčítání a skalární násobení jsou definovány takto:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\\&(a\phi )(x)=a(\phi (x))\end{aligned}}}$

pro všechny ${\displaystyle \phi ,\psi \in V^{*}}$, ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle a\in F}$.

Externí odkazy