Geometrické rozdělení

Pravděpodobnostní funkce geometrického rozdělení pro více hodnot pravděpodobnosti úspěchu: 0,8 (červená), 0,2 (modrá), 0,5 (zelená)

Geometrické rozdělení je diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které vyjadřuje počet neúspěchů před prvním úspěchem v posloupnosti nezávislých bernoulliovských pokusů, tedy náhodných pokusů, jejichž výsledkem je 1 (úspěch) s pravděpodobností ${\displaystyle p}$ a 0 (neúspěch) s pravděpodobností ${\displaystyle 1-p}$. Pomáhá tak odpovědět na otázky typu „kolikrát musí hráč neúspěšně hodit kostkou, než mu padne šestka?“ nebo „jak pravděpodobné je, že člověk desetkrát vsadí stejný tiket v loterii, a nic nevyhraje?“ Někdy se pod názvem geometrické rozdělení myslí velmi podobné posunuté geometrické rozdělení, distribuce počtu nezávislých bernoulliovských pokusů potřebných k dosažení prvního úspěchu. Rozdíl mezi těmito dvěma definicemi je ten, že hodnota obvyklého geometrického rozdělení pro číslo ${\displaystyle n}$ je rovna hodnotě posunutého rozdělení pro ${\displaystyle n+1}$, distribuční funkce tedy jsou vzájemně posunuty o jednotku.

Vzorce

Diskrétní náhodná veličina ${\displaystyle X}$ s geometrickým rozdělením se označuje například ${\displaystyle X\sim {\text{Geo}}(p)}$ a je definována pro celočíselné hodnoty od nuly do nekonečna (u posunutého geometrického rozdělení od jedné do nekonečna).

Pravděpodobnostní funkce je

${\displaystyle \Pr(Y=k)=(1-p)^{k}p}$

pro k = 0, 1, 2,..., jinak je rovna nule. Pro posunuté geometrické rozdělení je pravděpodobnostní funkce

${\displaystyle \Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}p}$

pro k = 1, 2, 3,..., jinak nula. Distribuční funkce je

${\displaystyle F(k)=1-(1-p)^{k+1},}$

respektive

${\displaystyle F(k)=1-(1-p)^{k}}$

pro posunuté geometrické rozdělení.

Střední hodnota geometrického rozdělení je

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1-p}{p}},}$

případně

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{p}}}$

pro posunuté geometrické rozdělení.

Rozptyl je u běžného i posunutého geometrického rozdělení shodně

${\displaystyle \operatorname {D} (X)={\frac {1-p}{p^{2}}}.}$

Externí odkazy

Portály: Matematika