Graduovaný okruh

Graduovaný okruh je v abstraktní algebře označení pro takový okruh, u kterého platí, že grupa, kterou tvoří jeho prvky spolu se sčítáním, je rovna direktnímu součtu svých podgrup ${\displaystyle \bigoplus R_{i}}$, přičemž platí ${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$, tedy ${\displaystyle \forall x\in R_{j},y\in R_{j}:x\cdot y\in R_{i+j}}$. Nenulový prvek podgrupy ${\displaystyle R_{n}}$ se v tomto kontextu označuje za homogenní prvek stupně n.

Příklady

• Takto formulovanou definici splňuje triviálně každý okruh ${\displaystyle R}$, je-li položeno ${\displaystyle R_{0}=R}$ a ${\displaystyle R_{i}=0}$ pro ${\displaystyle i\neq 0}$. Obvykle se tedy graduovaným okruhem rozumí takový okruh, který definici splňuje netriviálně.
• Klasickým příkladem je polynomiální okruh v n proměnných ${\displaystyle R=k[t_{1},\dots ,t_{n}]}$, ve kterém jsou jednotlivá ${\displaystyle R_{i}}$ tvořeny homogenními polynomy právě stupně ${\displaystyle i}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Graded ring na anglické Wikipedii.