Hermitovská transpozice

Matice hemitovsky sdružená ^[1] ke komplexní matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ je matice typu ${\displaystyle n\times m}$ získaná transpozicí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$^[1], ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$ ^[2] nebo ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}'}$, a ve fyzice často ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$. Nazývá se také hemitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.

Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$.

Definice

Hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$ je formálně definována ${\displaystyle {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$ pro ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ a ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, kde pruh značí komplexně sdružené číslo.

Tuto definici lze také napsat jako ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\overline {\boldsymbol {A}}}^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}}$, kde ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$ označuje transpozici a ${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}}$ označuje matici s komplexně sdruženými prvky.

Hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ může být značena některým z těchto symbolů:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$, běžně používaný v lineární algebře
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$, běžně používané v kvantové mechanice
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}}$, ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi

Někdy ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$ označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.

Ukázka

Hermitovskou transpozice následující matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ lze získat ve dvou krocích.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{pmatrix}}}$

Nejprve je matice transponována:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{pmatrix}}}$,

a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{pmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{pmatrix}}}$.

Poznámky

Čtvercová matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se nazývá

• Hermitovská nebo samosdružená pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$.
• Normální, pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$.
• Unitární pokud ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$, ekvivalentně ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}=\mathbf {I} }$.

I když ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ není čtvercová, obě matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}}$ a ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.

Hermitovsky "sdružená" transpozice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}})}$ z lineární algebry.

Hermitovská transpozice matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ se reálnými prvky redukuje na transpozici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.

Motivace

Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu ${\displaystyle 2\times 2}$, s obvyklým sčítáním a násobením matic:

${\displaystyle a+\mathrm {i} b\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$

Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla ${\displaystyle z}$ reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ), ovlivněné komplexním ${\displaystyle z}$ - násobením na ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Každou komplexní matici typu ${\displaystyle m\times n}$ pak lze reprezentovat reálnou maticí ${\displaystyle 2m\times 2n}$. Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.

Vlastnosti hermitovské transpozice

Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$.
• ${\displaystyle (z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ pro libovolné komplexní číslo ${\displaystyle z}$.
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$.
• ${\displaystyle {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}}$ , tj. Hermitovská transpozice je involucí.
• Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ čtvercová matice, pak ${\displaystyle \det {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}={\overline {\det {\boldsymbol {A}}}}}$, kde ${\displaystyle \operatorname {det} {\boldsymbol {A}}}$ označuje determinant matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• Je-li ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ čtvercová matice, pak ${\displaystyle \operatorname {tr} {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}={\overline {\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}}}$, kde ${\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}$ označuje stopu matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ je regulární právě když ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ je regulární a v tom případě ${\displaystyle {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\bigr )}^{-1}={\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{-1}{\bigr )}^{\mathrm {H} }}$ .
• Vlastní čísla ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ jsou komplexně sdružená k vlastním číslům ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• ${\displaystyle \left\langle {\boldsymbol {A}}x,y\right\rangle _{m}=\left\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\right\rangle _{n}}$ pro jakoukoli matici ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ typu ${\displaystyle m\times n}$, libovolný vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ a libovolný vektor ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$ . Zde, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ označuje standardní skalární součin na ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, a podobně pro ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$ .

Zobecnění

Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ na ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ pak matice ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ odpovídá sdruženému operátoru k ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.

Existuje další zobecnění: předpokládejme, že ${\displaystyle A}$ je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru ${\displaystyle V}$ do ${\displaystyle W}$, pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici ${\displaystyle A}$ jako komplexní sdružení transpozice ${\displaystyle A}$ . Toto zobrazuje sdružený duál ${\displaystyle W}$ na sdružený duál ${\displaystyle V}$ .

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Conjugate transpose na anglické Wikipedii.

1. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
2. WEISSTEIN, Eric W. MathWorld--A Wolfram Web Resource [online]. [cit. 2023-02-28]. Kapitola "Conjugate Transpose.". Dostupné online. (anglicky) 

Literatura

• BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
• BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
• MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

• Skalární součin
• Sdružený operátor
• Adjungovaná matice

Portály: Matematika