Graf polynomiální funkce
f
(
x
)
=
x
3
+
2
x
2
−
7
x
+
4
{\displaystyle f(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}
se dvěma kořeny
−
4
{\displaystyle -4}
a
1
{\displaystyle 1}
.
Kořenem funkce
f
{\displaystyle f}
se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru funkce
f
{\displaystyle f}
, v němž funkce
f
{\displaystyle f}
nabývá nulové hodnoty. Přesněji kořenem funkce je každá hodnota
a
{\displaystyle a}
splňující rovnici
f
{\displaystyle f}
(
a
{\displaystyle a}
) = 0.
Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor funkce
f
{\displaystyle f}
podmnožinou komplexních resp. reálných čísel , je kořen bod, v němž graf funkce
f
{\displaystyle f}
protíná komplexní rovinu resp. osu
x
{\displaystyle x}
souřadnicového systému .
Polynom jedné proměnné stupně
n
{\displaystyle n}
s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše
n
{\displaystyle n}
různých komplexních kořenů. Je-li
a
{\displaystyle a}
kořenem polynomu
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
, pak
(
x
−
a
)
{\displaystyle (x-a)}
dělí
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
a tedy
P
(
x
)
(
x
−
a
)
{\displaystyle {\frac {P(x)}{(x-a)}}}
je polynom stupně
n
−
1
{\displaystyle n-1}
.[ 1]
Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně
n
{\displaystyle n}
s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě
n
{\displaystyle n}
kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly , pak tato situace nemusí obecně platit – např. polynom
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
nemá řešení v oboru reálných čísel.
Řešení:
x
2
+
1
=
0
;
{\displaystyle x^{2}+1=0;}
x
2
=
−
1
{\displaystyle x^{2}=-1}
;
x
=
±
i
{\displaystyle x=\pm i}
.
Je-li lineární polynom (
P
(
x
)
=
a
x
+
b
;
{\displaystyle P(x)=ax+b;}
kde
a
≠
0
,
b
{\displaystyle a\neq 0,b}
jsou reálná nebo komplexní čísla, pak jeho kořenem je číslo
x
0
=
−
b
a
{\displaystyle x_{0}=-{\frac {b}{a}}}
.
Pro kvadratický polynom (
P
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}
), existují obecně dva kořeny
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
.
Příklad1: rovnice v součinném tvaru
(
2
x
+
1
)
(
x
−
3
)
=
0
{\displaystyle (2x+1)(x-3)=0}
řešení:
2
x
+
1
=
0
⇒
x
1
=
−
1
2
{\displaystyle 2x+1=0\Rightarrow x_{1}=-{\frac {1}{2}}}
;
x
−
3
=
0
⇒
x
2
=
3
{\displaystyle x-3=0\Rightarrow x_{2}=3}
Pro výpočet kořenů kubického polynomu lze použít např. Cardanovy vzorce nebo Hornerovo schéma .[ 2]
Příklad2:
x
3
+
3
x
2
+
2
x
+
6
=
0
{\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0}
, hledané řešení:
x
∈
R
{\displaystyle x\in R}
x
3
+
3
x
2
+
2
x
+
6
=
0
=
(
x
−
a
)
(
x
2
+
p
x
+
q
)
{\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=(x-a)(x^{2}+px+q)}
, kde
a
{\displaystyle a}
je kořen a
p
,
q
∈
R
{\displaystyle p,q\in R}
,
po roznásobení pravé strany a úpravě vytýkáním, vznikne rovnice:
x
3
+
3
x
2
+
2
x
+
6
=
0
=
x
3
+
(
p
−
a
)
x
2
+
(
q
−
a
p
)
x
−
a
q
{\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq}
porovnáním koeficientů u stejné mocniny
x
{\displaystyle x}
vznikne soustava tří rovnic o třech neznámých:
3
=
p
−
a
{\displaystyle 3=p-a}
2
=
q
−
a
p
{\displaystyle 2=q-ap}
6
=
−
a
q
{\displaystyle 6=-aq}
Vyřešené hodnoty
a
=
−
3
;
p
=
0
;
q
=
2
{\displaystyle a=-3;p=0;q=2}
lze dosadit do rovnice
x
3
+
3
x
2
+
2
x
+
6
=
0
=
x
3
+
(
p
−
a
)
x
2
+
(
q
−
a
p
)
x
−
a
q
=
(
x
+
3
)
(
x
2
+
2
)
{\displaystyle x^{3}+3x^{2}+2x+6=0=x^{3}+(p-a)x^{2}+(q-ap)x-aq=(x+3)(x^{2}+2)}
vyřešením rovnic v součinném tvaru je kořen rovnice pouze číslo
x
1
=
−
3
{\displaystyle x_{1}=-3}
, kvadratická rovnice
x
2
+
2
=
0
{\displaystyle x^{2}+2=0}
nemá v oboru
R
{\displaystyle R}
řešení.
Najdeme-li dva body
x
1
{\displaystyle x_{1}}
a
x
2
{\displaystyle x_{2}}
, pro které platí
sgn
(
P
(
x
1
)
)
=
−
sgn
(
P
(
x
2
)
)
{\displaystyle \operatorname {sgn}(P(x_{1}))=-\operatorname {sgn}(P(x_{2}))}
, kde
sgn
{\displaystyle \operatorname {sgn} }
značí znaménkovou funkci signum (
P
(
x
1
)
P
(
x
2
)
<
0
{\displaystyle P(x_{1})P(x_{2})<0}
), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})}
, (viz Bolzanova věta ). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen .
Funkce
f
(
x
)
=
e
x
{\displaystyle f(x)=e^{x}}
(viz Eulerovo číslo ) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
Funkce
f
(
x
)
=
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=sin(x)}
(viz sinus ) má nekonečně mnoho kořenů (je periodická) , a to právě čísla tvaru kπ , kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo .
Řešené příklady (německy)