Neúplná gama funkce

Neúplná gama funkce je označení dvojice matematických funkcí odvozených z definice gama funkce. Jejich definicí je integrál ze stejné funkce, kterou je definována gama funkce, liší se pouze jeho meze, z nichž jedna je vždy druhým z argumentů neúplné gama funkce.

Definice

Horní gama funkce je definována předpisem

${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\!}$

Dolní gama funkce je definována předpisem

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!}$

Vlastnosti

Pro komplexní parametr s s reálnou složkou kladnou platí na základě pravidla per partes následující rekurentní vztahy:

${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$

a

${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$

Protože gama funkce je definována

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t}$

platí také

${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$

a

${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Incomplete gamma function na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

Portály: Matematika