Pentace

Pentace (nebo také hyper-5) je matematická operace, která je jakýmsi rozšířením tetrace. Zatímco mocnění je vlastně opakované násobení a tetrace opakované mocnění, pentace je opakovaná tetrace. Opakovaná pentace je poté hexace. Pentace je tedy definována jako iterovaná neboli opakovaná tetrace, stejně jako je tetrace opakované umocňování.^[1] Jedná se o binární operaci definovanou dvěma čísly a a b, kde a je b − 1 krát tetrováno sebou samým. Například při použití hyperoperačního zápisu pro pentaci a tetraci ${\displaystyle 2[5]3}$ znamená tetrování 2 dvakrát, neboli ${\displaystyle 2[4](2[4]2)}$. To lze poté redukovat na ${\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65536.}$

Pentace může být zapisována například pomocí knuthova šipkového zápisu.

Znázornění

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {{}^{{}^{{}^{{}^{{}^{a}\cdot }\cdot }\cdot }a}a} _{b{\text{ opakování }}a}=\underbrace {a\,\uparrow \uparrow \,(a\,\uparrow \uparrow \,(\dots \,\uparrow \uparrow \,a))} _{b{\text{ opakování }}a}.}$

Příklady

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 2&=3\uparrow \uparrow 3={}^{3}3=\\&=3\uparrow (3\uparrow 3)=3^{3^{3}}=3^{27}=7625597484987\\\end{aligned}}}$

Velikost čísel opravdu velmi rychle roste:

${\displaystyle {\begin{aligned}3\uparrow \uparrow \uparrow 3&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)={}^{{}^{3}3}3={}^{7625597484987}3=\\&=3\uparrow \uparrow (3\uparrow (3\uparrow 3))=\underbrace {3\uparrow (3\uparrow (\dots \uparrow 3))} _{3\uparrow (3\uparrow 3)=7625597484987{\text{ opakování }}3}=\underbrace {3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}} _{3\uparrow (3\uparrow 3){\text{ opakování }}3}\approx \exp _{10}^{7625597484986}(1{,}09902)\end{aligned}}}$

Následující číslo by mělo v klasickém zápisu více než 10¹⁰²¹⁸⁴ číslic:

${\displaystyle 5\uparrow \uparrow \uparrow 2=5\uparrow \uparrow 5={^{5}5}=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx 10^{10^{10^{10^{3,33928}}}}=\exp _{10}^{4}(3{,}33928)}$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Pentation na anglické Wikipedii.

1. PERSTEIN, Millard H. Algorithm 93: General Order Arithmetic. Communications of the ACM. June 1962, s. 344. DOI 10.1145/367766.368160. S2CID 581764. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..