Polospojitost

Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno reálná funkce f je shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.

Přesná definice

[editovat | editovat zdroj]
Shora polospojitá funkce.

Polospojitost shora

[editovat | editovat zdroj]
  • Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je shora polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že kdykoliv .
Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud .
  • Funkce f je shora polospojitá v X , jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Polospojitost zdola

[editovat | editovat zdroj]
Zdola polospojitá funkce.
  • Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že kdykoliv .
Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud .
  • Funkce f je zdola polospojitá v X , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.


Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
  • ukazuje, že pokud je f v x polospojitá shora i zdola, je již v x spojitá a (samozřejmě) i obráceně.
  • součet
  • Protože , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.
  • Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad .

Mnemotechnika

[editovat | editovat zdroj]

Je zajímavé, že naprosté většině lidí činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.

Příklady

[editovat | editovat zdroj]

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]