Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno reálná funkcef je shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.
Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud .
Funkce f je shora polospojitá v X, jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.
Funkce f z topologického prostoruX do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolíU bodu x, že kdykoliv .
Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud .
Funkce f je zdola polospojitá v X, jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.
Protože , je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.
Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad .
Norma na Banachově prostoruX je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru (X,w)). Je-li dimenzeX nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.