Rapidita

Rapidita je bezrozměrná fyzikální veličina, která je mírou pohybu prostorem, podobně jako rychlost. Zatímco rychlost objektů je podle speciální teorie relativity shora omezena rychlostí světla ve vakuu ${\displaystyle c}$, rapidita může být libovolně velká. Pro tělesa v klidu má hodnotu 0 a pro pomalá tělesa je přímo úměrná rychlosti. Když se rychlost tělesa přibližuje ${\displaystyle c}$, roste rapidita nade všechny meze.

Rapidita ${\displaystyle r}$ je definována vztahem

${\displaystyle \operatorname {tgh} \,r=\beta \,,}$

kde ${\displaystyle \beta =v/c}$ je bezrozměrná rychlost a funkce ${\displaystyle \operatorname {tgh} }$ je hyperbolický tangens. Je-li známa rychlost, lze rapiditu spočítat pomocí funkce hyperbolický arkus tangens, kterou lze vyjádřit přirozeným logaritmem

${\displaystyle r=\operatorname {arctgh} \,\beta ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\beta }{1-\beta }}\,.}$

Příklady

Rozvojem do Taylorovy řady lze ukázat, že pro rychlosti mnohem menší než ${\displaystyle c}$ je ${\displaystyle r}$ velmi přesně rovno ${\displaystyle \beta }$. Například raketa pohybující se rychlostí 8 km/s má bezrozměrnou rychlost ${\displaystyle \beta =0{,}0000266851276159}$ a rapiditu ${\displaystyle r=0{,}0000266851276222}$, liší se až na deváté platné číslici. Rapidita tedy v běžných situacích představuje přímo rychlost v přirozených jednotkách.

Pro vysoké rychlosti je rapidita větší než ${\displaystyle \beta }$. Například při polovině rychlosti světla je ${\displaystyle \beta =0{,}5}$, zatímco ${\displaystyle r=0{,}5493}$. Rapidita ${\displaystyle r=1}$ odpovídá rychlosti ${\displaystyle \beta =0{,}7616}$. Protony v prstenci LHC urychlené na energii 3,5 TeV mají rychlost ${\displaystyle \beta =0{,}9999999282}$ a rapiditu ${\displaystyle r=8{,}57}$. Při dalším urychlení na 7 TeV se rychlost zvýší jen nepatrně, ${\displaystyle \beta =0{,}9999999820}$, ale rapidita vzroste na ${\displaystyle r=9{,}26}$.

Rychlost / m·s^−1	Bezrozměrná rychlost	Rapidita	Lorentzův faktor	Poznámka
0	0	0	1	těleso v klidu
20 000	0,000066713	0,000066713	1,00000000223	obvyklá rychlost planetární sondy
29 979 246	0,1	0,100335	1,00504	relativistické jevy se začínají projevovat
123 932 393	0,413394	0,439698	1,0982	světlo v diamantu (n=2,419)
149 896 229	0,5	0,54931	1,155
224 844 344	0,75	0,97296	1,512
224 900 000	0,75019	0,97338	1,512	světlo ve vodě (n=1,3330)
228 320 184	0,76159	1	1,543
259 627 884	0,86603	1,3170	2	kinetická energie je rovna klidové
269 813 212	0,9	1,4722	2,2942
296 794 533	0,99	2,6467	7,0888
299 492 666	0,999	3,8002	22,366
299 762 479	0,9999	4,9517	70,712
299 789 460	0,99999	6,1030	223,6
299 792 453	0,999999982044	9,2642	7 463	7 TeV proton (LHC)
299 792 457,9964	0,999999999988	12,92	204 500	104,5 GeV elektron (LEP, rekord v laboratoři)
299 792 457,999 999 999 999 997	0,9999999999999999999999902	26,8	3,2×10^11	vzácný 3×10^20 eV proton kosmického záření
299 792 458,0	1	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle \infty }$	světlo ve vakuu

Skládání pohybů

V klasické fyzice se rychlosti skládají prostým sčítáním. Pohybují-li se dvě rakety po téže přímce rovnoměrně směrem od sebe rychlostmi ${\displaystyle v_{1}}$ a ${\displaystyle v_{2}}$, pak by cestovatel v jedné z nich měl podle klasické fyziky pozorovat, že druhá se od něj vzdaluje rychlostí ${\displaystyle v_{1}+v_{2}}$. Tento vztah ale v přírodě neplatí, je-li alespoň jedna z rychlostí velká, tedy řádově srovnatelná s ${\displaystyle c}$. Pro skládání rychlostí ve speciální teorii relativity platí vztah

${\displaystyle v_{12}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}}}\,.}$

Totéž lze vyjádřit pomocí bezrozměrných rychlostí

${\displaystyle \beta _{12}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}.}$

Lze ukázat, že

${\displaystyle \mathrm {arctgh} \,\beta _{12}=\mathrm {arctgh} \,\beta _{1}+\mathrm {arctgh} \,\beta _{2}\,,}$

neboli

${\displaystyle r_{12}=r_{1}+r_{2}\,.}$

To znamená, že rapidity lze jednoduše sčítat jak v klasickém tak i relativistickém případě. Je například možné urychlit jeden proton na 3,5 TeV, druhý na 7 TeV a poslat je proti sobě. V soustavě spjaté s jedním z nich se bude druhý přibližovat s rapiditou 8,57+9,26=17,83.^{[pozn 1]} Pokud se tělesa pohybují po téže přímce stejným směrem, pak se rapidity odečítají, tak jako klasické rychlosti. Když například proton o energii 7 TeV dohání druhý proton o energii 3,5 TeV, tak rapidita jejich vzájemného přibližování je 9,26-8,57=0,69.

Poznámky

1. Při nárazu do stojícího terče je tak vysoká rapidita technicky nedosažitelná. To je důvod, proč LHC používá dva vstřícné svazky částic. Oba svazky v LHC mají před srážkou přesně stejnou rapiditu. Zde jsou použity protony s různou energií jen jako příklad.

Portály: Fyzika