Thông báo
DefZone.Net
DefZone.Net
Feed
Cửa hàng
Location
Video
0
Seznam základních limit
Obecně
[
editovat
|
editovat zdroj
]
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
(definice
derivace
)
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
,
pokud je
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
nebo
±
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},\qquad {\text{ pokud je }}\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ nebo }}\pm \infty }
(
L'Hospitalovo pravidlo
)
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
lim
h
→
0
(
f
(
x
(
1
+
h
)
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
Vlastnosti limit funkcí
[
editovat
|
editovat zdroj
]
Pokud
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
∈
R
a
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
∈
R
pak:
{\displaystyle {\text{Pokud }}\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}\in \mathbb {R} {\text{ a }}\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}\in \mathbb {R} {\text{ pak:}}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
=
L
1
±
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
×
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
,
když
L
2
≠
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}},\qquad {\text{ když }}L_{2}\neq 0}
lim
x
→
c
f
(
x
)
n
=
L
1
n
,
pokud je
n
z množiny Z
+
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{n}=L_{1}^{n},\qquad {\text{ pokud je }}n{\text{ z množiny Z}}^{+}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
1
n
=
L
1
1
n
,
pokud
n
je kladné liché, nebo pokud je sudé a zároveň
L
1
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L_{1}^{1 \over n},\qquad {\text{ pokud }}n{\text{ je kladné liché, nebo pokud je sudé a zároveň }}L_{1}>0}
Základní funkce
[
editovat
|
editovat zdroj
]
lim
x
→
c
a
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}a=a}
lim
x
→
c
x
=
c
{\displaystyle \lim _{x\to c}x=c}
lim
x
→
c
a
x
+
b
=
a
c
+
b
{\displaystyle \lim _{x\to c}ax+b=ac+b}
lim
x
→
c
x
r
=
c
r
Pokud je
r
kladné celé číslo
{\displaystyle \lim _{x\to c}x^{r}=c^{r}\qquad {\mbox{ Pokud je }}r{\mbox{ kladné celé číslo }}}
lim
x
→
0
+
1
x
r
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
lim
x
→
0
−
1
x
r
=
{
−
∞
,
pokud je
r
liché
+
∞
,
pokud je
r
sudé
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}={\begin{cases}-\infty ,&{\text{pokud je }}r{\text{ liché}}\\+\infty ,&{\text{pokud je }}r{\text{ sudé}}\end{cases}}}
Logaritmické a exponenciální funkce
[
editovat
|
editovat zdroj
]
lim
x
→
1
ln
(
x
)
x
−
1
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}
nebo
lim
y
→
0
ln
(
y
+
1
)
y
=
1
{\displaystyle \lim _{y\to 0}{\frac {\ln(y+1)}{y}}=1}
Když
a
>
1
:
{\displaystyle {\mbox{Když }}a>1:\,}
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty }
lim
x
→
−
∞
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}
Když
a
<
1
:
{\displaystyle {\mbox{Když }}a<1:\,}
lim
x
→
−
∞
a
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=\infty }
Trigonometrické funkce
[
editovat
|
editovat zdroj
]
lim
x
→
a
sin
x
=
sin
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
lim
x
→
a
cos
x
=
cos
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
lim
x
→
n
±
tan
(
π
x
+
π
2
)
=
∓
∞
Pro každé celé
n
{\displaystyle \lim _{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty \qquad {\text{Pro každé celé }}n}
lim
x
→
0
sin
a
x
x
=
a
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}
lim
x
→
0
sin
a
x
b
x
=
a
b
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}}
Speciální limity
[
editovat
|
editovat zdroj
]
lim
x
→
+
∞
(
1
+
k
x
)
m
x
=
e
m
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
x
→
+
∞
(
1
+
k
x
)
x
=
e
k
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{x}=e^{k}}
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
...
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }
lim
x
→
0
(
a
x
−
1
x
)
=
ln
a
,
∀
a
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0}
Limity poblíž nekonečna
[
editovat
|
editovat zdroj
]
lim
x
→
∞
N
/
x
=
0
pro všechna reálná
N
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N/x=0{\text{ pro všechna reálná }}N}
lim
x
→
∞
x
/
N
=
{
∞
,
N
>
0
nedefinováno
,
N
=
0
−
∞
,
N
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{nedefinováno}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
x
N
=
{
∞
,
N
>
0
1
,
N
=
0
0
,
N
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
N
x
=
{
∞
,
N
>
1
1
,
N
=
1
0
,
0
<
N
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&0<N<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
N
−
x
=
lim
x
→
∞
1
/
N
x
=
0
pro každé
N
>
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }N^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/N^{x}=0{\text{ pro každé }}N>1}
lim
x
→
∞
N
x
=
{
1
,
N
>
0
0
,
N
=
0
nedefinováno v R
,
N
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{nedefinováno v R}},&N<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
x
N
=
∞
pro každé
N
>
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\text{ pro každé }}N>0}
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
Literatura
[
editovat
|
editovat zdroj
]
BARTSCH, Hans-Jochen.
Matematické vzorce
. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s.
ISBN
80-200-1448-9
.