Тĕп функцисен чиккисен йышĕ

Тĕп функцисен чиккисен йышĕ — паллăрах функцисен чиккисене, кулленхи ĕçлевлĕхре усă курас тĕллевпе, черетлесе тухни тата, çавăн пекех, вĕсене тупмалли тĕп йĕркевсем. Тĕслĕхсенчи a тата b x тĕлĕшĕнчи константтăсем пулса тăраççĕ.

Чикĕсен пĕтĕмĕшле палăрăмĕсем

Енчен ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}$ тата ${\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}$ пулсан, вара:

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}$

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}}$, енчен ${\displaystyle L_{2}\neq 0}$ пулсан

${\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{a}=L_{1}^{a}}$, енчен сылтăм пайри хисеп тата сулахайри функцин x=c пăнчă таврашĕнчи пĕлтерĕшĕсем чăнахах пур пулсан.

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}$, енчен ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}$, е ${\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }$ (Лопиталь йĕркевĕ)

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}$ (функцин тăхăмĕн палăртавĕ)

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}$

Паллă константтăсемпе çыхăннă чикĕсем

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}$ (Непер константти) — Иккĕмĕш чаплă чикĕ

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }$ (пи), шалти ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ радикала ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ радикалпа ылмаштарсан, вара чикĕ ${\displaystyle {2\pi \over 3}}$ чухлĕ пулать

Ĕнентерÿ  

Пĕррремĕш чаплă чикĕпе усă курса

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n+1}\sin {\pi \over 2^{n+1}}=\lim _{m\to \infty }m\sin {\pi \over m}=\lim _{m\to \infty }\pi {\sin {\pi \over m} \over {\pi \over m}}=\pi }$    (1)

Мĕншĕн тесен

${\displaystyle \cos {x}={\sqrt {{1 \over 2}(1+\cos {2x})}},x\in \left(0,{\pi \over 2}\right)}$

вара

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{2}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 2}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{3}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 4}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{4}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}$

Математикăла индукци меслечĕпе усă курсан çапла пулать

${\displaystyle \cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N} }$

Вара

${\displaystyle \sin {\pi \over 2^{n+1}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\pi \over 2^{n+1}}}}={\sqrt {1-\left({1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2}}}}}} _{n}\right)^{2}}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}}$

Ку япалан (1) ăшне кĕртсен, куратпăр

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n+1}{1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\pi }$

Мĕн ĕнетермеллине турăмăр. Шалти ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ радикалшăн, ăна ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ вырăнне кĕртсен, ĕнентерÿ аналогилле, тульккĕш ${\displaystyle 2^{n+1}}$ вырăнне ${\displaystyle 3\cdot 2^{n+1}}$ илмелле.

Ансат функцисем

${\displaystyle \lim _{x\to c}P(x)=P(c)}$, где ${\displaystyle P(x)}$ — полином.

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=-\infty }$, енчен r мăшăрсăр чухне тата ${\displaystyle +\infty }$ пулсан, енчен r мăшăрлă чухне.

Логарифмла тата кăтартăшла функцисем

Енчен ${\displaystyle a>1}$ пулсан:

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty }$

Тригонометрилле функцисем

${\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ — Пĕрремĕш чаплă чикĕ

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to n\pm 0}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }$, енчен n — тулли хисеп.

Вĕçсĕрлĕх таврашĕнчи чикĕсем

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a/x=0}$, хуть те мĕнле чăн a чухне.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}$ тата вăл ${\displaystyle a=0}$ чухне çук.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/a^{x}=0}$ хуть те мĕнле ${\displaystyle a>1}$ чухне

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\end{cases}}}$ тата вăл ${\displaystyle a<0}$ чухне çук.

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty }$ хуть те мĕнле ${\displaystyle a>0}$ чухне

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }$