Eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannau

Mae'r ffwythiant sin a'i holl polynomialau Taylor yn od-ffwythiannau. Mae'r ddelwedd hon yn dangos ${\displaystyle \sin(x)}$ a'i frasamcaniadau Taylor, polynomialau gradd 1, 3, 5, 7, 9, 11 ac 13.

Mae'r ffwythiany cosin a'i holl polynomialau Taylor yn eil-ffwythiannau. Mae'r ddelwedd hon yn dangos ${\displaystyle \cos(x)}$ a'i frasamcaniad Taylor o radd 4.

Mewn mathemateg, mae eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannau yn ffwythiannau sy'n bodloni perthnasoedd cymesuredd penodol. Maent yn bwysig mewn nifer o feysydd o ddadansoddiad mathemategol, yn enwedig theori cyfresi pŵer a chyfresi Fourier. Fe'u henwir am baredd pwerau'r ffwythiannau pŵer sy'n bodloni pob amod: mae'r ffwythiant ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ yn eil-ffwythiant os yw n yn eilrif, ac mae'n od-ffwythiant os yw n yn odrif.

Diffiniad ac enghreifftiau

Yn gyffredinol, mae ystyriwn ffwythiannau real yn unig wrth ystyried eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannau, hynny yw ffwythiannau gwerth real a newidyn real. Fodd bynnag, gall y cysyniadau hyn gael eu diffinio'n fwy cyffredinol ar gyfer ffwythiannau lle mae gan eu parth a'u hamrediad rhyw syniad o wrthdro adiol. Mae hyn yn cynnwys grwpiau Abel, pob modrwy, pob maes, a phob gofod fector. Felly, er enghraifft, gallai ffwythiant real fod yn od-ffwythiant neu'n eil-ffwythiant (neu'r naill na'r llall), a hefyd gallai ffwythiant gwerth cymhlyg gyda newidyn fector, ac ati.

Mae'r enghreifftiau a roddir yn ffwythiannau real, er mwyn dangos cymesuredd eu graffiau.

Eil-ffwythiannau

Mae ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ yn enghraifft o eil-ffwythiant.

Gadewch i f fod yn ffwythiant gwerth real newidyn real. Yna mae f yn eil-ffwythiant os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni ar gyfer pob x fel bod x ac -x ym mharth f:^[1]

$${\displaystyle f(x)=f(-x)}$$

neu'n gywerth, os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni pob x o'r fath:

$${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

Yn geometryddol, mae graff eil-ffwythiant yn gymesur o gwmpas yr echelin-y, sy'n golygu bod ei graff parhau heb ei newid ar ôl adlewyrchiad yn yr echelin-y.

Enghreifftiau o eil-ffwythiannau yw:

• Y gwerth absoliwt ${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{4},}$
• cosine, ${\displaystyle \cos ,}$
• cosin hyperbolig, ${\displaystyle \cosh .}$

Od-ffwythiannau

Mae ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ yn enghraifft o od-ffwythiant.

Unwaith eto, gadewch i f fod yn ffwythiant gwerth real newidyn real. Yna mae f yn rhyfedd os yw'r hafaliad canlynol yn dal pob x fel bod x a - x ym mharth f:^[1]

$${\displaystyle -f(x)=f(-x)}$$

neu'n gywerth, os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni pob x o'r fath:

$${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

Yn geometryddol, mae gan graff od-ffwythiant gymesuredd cylchdro mewn perthynas â'r tarddbwynt, sy'n golygu bod ei graff yn aros yr un fath ar ôl cylchdroi 180 gradd o gwmpas y tarddbwynt.

Enghreifftiau o od-ffwythiannau yw:

• Y ffwythiant unfathiant ${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{3},}$
• ${\displaystyle \sin ,}$
• sin hyperbolig, ${\displaystyle \sinh ,}$
• Y ffwythiant gwall ${\displaystyle \operatorname {erf} .}$

Nid yw ${\displaystyle f(x)=x^{3}+1}$ yn eil-ffwythiant nac yn od-ffwythiant.

Priodweddau sylfaenol

Unigrwydd

• Os yw ffwythiant yn eil-ffwythiant ac yn od-ffwythiant, yna mae'n hafal i 0 ym mhobman.
• Os yw ffwythiant yn od-ffwythiant, mae gwerth absoliwt y ffwythiant hwnnw yn eil-ffwythiant.

Adio a thynnu

• Mae swm dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
• Mae swm dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
• Mae'r gwahaniaeth rhwng dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
• Mae'r gwahaniaeth rhwng dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
• Mae swm eil-ffwythiant ac od-ffwythiant ddim yn eil-ffwythiant nac yn od-ffwythiant, oni bai bod un o'r ffwythiannau yn hafal i sero dros y parth penodol.

Lluosi a rhannu

• Mae lluoswm dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
  • Mae hynny'n awgrymu bod lluoswm unrhyw nifer o eil-ffwythiannau hefyd yn eil-ffwythiant.
• Mae lluoswm dau od-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
• Mae lluoswm eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
• Mae rhannu dau eil-ffwythiant yn rhoi eil-ffwythiant.
• Mae rhannu dau od-ffwythiant yn rhoi eil-ffwythiant.
• Mae rhannu eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn rhoi od-ffwythiant.

Cyfansoddiad

• Mae cyfansoddiad dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
• Mae cyfansoddiad dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
• Mae cyfansoddiad eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
• Mae cyfansoddiad unrhyw ffwythiant gydag eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant (ond nid i'r gwrthwyneb). 

Cyfeiriadau

1. Gel'Fand, I.M.; Glagoleva, E.G.; Shnol, E.E. (1990). Functions and Graphs. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.