Gofod affin

Isofod fector yw plane ${\displaystyle P_{1}}$ gwyrdd, isod; nid yw hyn yn wir am y plân ${\displaystyle P_{2}}$ glas, uchod. I unrhyw ddau fector ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in P_{2}}$ rydym yn canfod ${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2}}$. Fodd bynnag, mae ${\displaystyle P_{2}}$ yn enghraifft o ofod affin. Mae'r gwahaniaeth ${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} }$ rhwng y ddwy elfen yn gorwedd ar ${\displaystyle P_{1}}$ ac yn cynnwys fector dadleoliad (a displacement vector).

Segmentau o linellau ar ofod affin 2-ddimensiwn.

Mewn mathemateg, mae gofod affin yn strwythur geometrig sy'n cyffredinoli rhai o nodweddion gofod Euclidaidd yn y fath fodd fel bod y rhain yn annibynnol ar y cysyniadau o bellter ac onglau, gan gadw yn unig y noweddion hynny sy'n perthyn i linellau cyflin a chymhareb hyd segmentau o linellau cyflin.

Mewn gofod affin, ni cheir unrhyw bwynt neilltuol, arbennig y gellir ei alw'n darddiad (neu'n darddbwynt). Oherwydd hyn, nid oes gan unrhyw fector chwaith darddbwynt sefydlog ac ni ellir cysylltu unrhyw fector (mewn modd unigryw) ag unrhyw bwynt. Yn hytrach, mewn gofod affin, ceir fectorau dadleoli, a elwir hefyd yn "fectorau trawsfudol" (translation vectors), neu'n syml: trawsfudiad rhwng dau bwynt yn y gofod. Felly, mae'n gwneud synnwyr i dynnu dau bwynt o'r gofod, gan roi fector trawsfudol, ond nid yw'n gwneud unrhyw synnwyr i adio dau bwynt. Mae hefyd yn gwneud synnwyr i adio fector trawsfudol i bwynt mewn gofod affin.

Diffinnir gofod affin fel dimensiwn gofod fector ei drawsfudiad. Mae gofod affin un dimensiwn yn llinell affin. Mae gofod affin gyda dimensiwn o 2 yn blân affin. Mae is-ofod affin o n-ddimensiwn mewn gofod affin neu mewn gofod fector, o n-ddimensiwn, yn uwch-blân (hyperplane).

Eglurhad

Gofod affin yw'r hyn sy'n weddill o'r gofod fector wedi i chi anghofio pa bwynt yw'r tarddiad. Drwy ychwanegu trawsfudiadau i'r mapiau llinol, awn ati i anghofio pa bwynt yw'r tarddiad; drwy hyn, mae'r gofod affin nawr yn ofod fector.^[1][2]).

Er enghraifft: Mae Awen yn gwybod yn bendant pa bwynt gwirioneddol yw'r tarddiad, ond cred Bob mai pwynt arall (fe wnawn ei alw'n p) ydyw. Mae dau fector i'w hychwanegu: a a b. Tynna Bob lun saeth o bwynt p i bwynt a a saeth arall o bwynt p i bwynt b, ac mae'n cwbwlhau paralelogram er mwyn cafod yr hyn mae ef yn ei gredu yw a + b. Ond, fe ŵyr Awen fod Bob, mewn gwirionedd, wedi llunio (neu gyfrifiannu)

p + (a − p) + (b − p).

Yn yr un modd, gall Awen a Bob gyfrifiannu unrhyw gyfuniad o a a b, neu gyfrifiannu unrhyw set feidraidd o fectorau, a chael atebion gwahanol. Fodd bynnag, os yw cyfanswm y cyfernodau mewn cyfuniad llinol yn 1, yna bydd Awen a Bob yn cyrraedd yr un ateb.

Os yw Awen yn teithio i

λa + (1 − λ)b

yna, gall Bob, yn yr un modd, deithio i

p + λ(a − p) + (1 − λ)(b − p) = λa + (1 − λ)b.

O dan yr amod hwn, am bob cyfernod λ + (1 − λ) = 1, mae Awen a Bob yn disgrifio yr un pwynt, gyda'r un cyfuniad, er iddynt ddefnyddio tarddiad gwahanol i'w gilydd. Er fod Awen yn deall y strwythur llinol, mae'r ddau ohonynt yn deall y "strwythur affin".

Cyfeiriadau

1. Mae'r frawddeg hon yn aralleiriad o ddiffiniad bras gan y mathemategydd Ffrengig Marcel Berger.
2. Berger 1987, t. 32