Rhif aleph

Aleph-sero, neu aleph-null (mewn Almaeneg), sef y rhif prifol anfedraidd lleiaf.

Mewn mathemateg, ac yn benodol theori set, mae'r rhifau aleff yn gyfres o rifau a ddefnyddir i gynrychioli'r prifoledd (cardinality, neu faint) setiau anfeidraidd trefnus. Maent yn cael eu henwi ar ôl y symbol a ddefnyddir i'w dynodi, sef y llythyr Hebraeg aleph (${\displaystyle \aleph }$) (er bod rhai hen lyfrau mathemateg wedi'i hargraffu, ar ben i lawr, yn rhannol gan nad oedd y cysodwr yn yr argraffdy'n deall llythrennau Hebraeg!)^[1][2]

Prifoledd y rhifau naturiol yw ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (ynganiad: aleph-naught neu aleph-sero; mewn Almaeneg, ac weithiau yn Saesneg, sydd hefyd yn defnyddio'r term aleph-null), a'r mwyaf a ddaw ar ei ôl yw aleph-un ${\displaystyle \aleph _{1}}$, yna ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ayb. Drwy barhau fel hyn, gellir ddiffinio rhif prifol ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ am bod rhif trefnol (trefnolyn, neu ordinal number) α, fel a ddisgrifir isod.

Mae'r syniad a'r cysyniad o rifau aleph yn dod o waith y mathemategydd Georg Cantor,^[3] a ddiffiniodd y syniad o brifoledd ac a ddaeth i'r casgliad fod gan setiau anfeidraidd wahanol brifoleddau.

Mae rhifau aleph yn wahanol i'r anfeidredd arferol o fewn calcwlws ac algebra. Mesur maint setiau mae'r aleph; mae anfeidredd, ar y llaw arall, yn cael ei ddiffinio'n aml fel y terfyn eithaf (neu'r cyfyngiad eithaf) o'r llinell rif real - a gymhwysir i ffwythiant neu gyfres sy'n cynyddu heb derfyn, hyd dragwyddoldeb!

Aleph-sero

${\displaystyle \aleph _{0}}$ (neu aleph-sero) yw prifoledd y set o bob rhif naturiol, ac sy'n rhif prifol anfeidraidd. Mae gan y set o'r holl drefnolion meidraidd (finite ordinals), a elwir yn ω neu ω₀ brifoledd {\displaystyle \aleph _{0}}. Mae gan set brifoledd ${\displaystyle \aleph _{0}}$ os a dim ond os yw ei gyfri yn anfeidraidd, h.y. ei fod yn bijection (cyfatebiad un-i-un) rhyngddo a rhifau naturiol. Rhai enghreifftiau:

• y set o bob rhif sgwâr, y set o bob rhifau ciwb a'r set o bwer-4 ayb...
• y set o bob pŵer perffaith, y set o bob pŵer cysefin (prime power),
• y set o bob Eilrif, y set o bob odrif,
• y set o bob rhif cysefin, y set o bob rhif cyfansawdd (composite number)
• y set o bob cyfanrif,
• y set o bob rhif cymarebol,
• y set o bob rhif algebraic

Cyfeiriadau

1. Er enghraifft, gweler (Sierpiński 1958, p.402) lle argraffwyd y dynodwr ar ei ben i lawr, a'r ffordd cywir!
2. Swanson, Ellen; O'Sean, Arlene Ann; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979], Mathematics into type: Copy editing and proofreading of mathematics for editorial assistants and authors (updated ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 16, ISBN 0-8218-0053-1, MR 0553111
3. Jeff Miller. "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic". jeff560.tripod.com. Cyrchwyd 2016-05-05. mae Miller yn dyfynnu Joseph Warren Dauben (1990). Georg Cantor:His Mathematics and Philosophy of the Infinite. ISBN 9780691024479. : "His new numbers deserved something unique. ... Not wishing to invent a new symbol himself, he chose the aleph, the first letter of the Hebrew alphabet...the aleph could be taken to represent new beginnings..."