Tangiad

Tangiad

Math o gyfrwng	role
Math	llinell
Yn cynnwys	point of tangency
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Plân tangiad i sffêr.

Mewn geometreg, llinell y tangiad (neu'n syml: tangiad) i blân cromlin mewn man benodol yw'r linell syth sy'n "prin-gyffwrdd" y gromlin ar y pwynt hwnnw. Mae'r cysyniad o dangiad yn hanfodol, yn greiddiol i geometreg gwahaniaethol ac mae wedi'i ddatblygu'n helaeth. Daw'r gair "tangent" o'r gair Lladin tangere, sef 'cyffwrdd'.

Diffiniodd yr Almaenwr Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) y tangiad fel y linell trwy bâr o bwyntiau anfeidraidd o agos at ei gilydd, ar gromlin.^[1]

Ar bob pwynt, mae'r linell symudol bob amser yn dangiad i'r gromlin. Ei oledd yw'r deilliad; marciau gwyrdd yn deilliad positif, marciau coch yn deilliad negatif a marciau du yn ddeilliad sero. Nid yw'r pwynt (x, y) = (0,1) lle mae'r tangiad yn croestori'r gromlin, yn uchafswm, nac yn isafswm, ond mae'n bwynt y ffurfdro (point of inflection).

Dywedir bod y linell syth yn dangiad o gromlin y = f (x) ar bwynt x = c ar y gromlin os yw'r linell yn pasio drwy'r pwynt (c, f (c)) ar y gromlin a bod ganddi oledd f '(c) ble mae f ' yn ddeilliad o f. Ceir diffiniad tebyg i gromlinau gofod (space curves) a chromlinau oddi mewn i ofod Ewclidaidd n-dimensiwn.

Wrth i'r linell dangiad basio drwy'r pwynt lle mae'n cyfarfod y gromlin (a elwir yn "pwynt tangiadaeth"^[2]) mae'r linell dangiad yn mynd i'r un cyfeiriad â'r gromlin.

Yn yr un modd, y plân sy'n dangiad i arwyneb mewn man benodol yw'r plân sy'n "prin-gyffwrdd" yr wyneb ar y pwynt hwnnw.

Hanes

Disgrifiodd Euclid (fl. 300 CC) dangiad i gylch, yn Rhan III o'i Elfennau (c. 300 BC).^[3] gan ddefnyddio'r gair Groeg ἐφαπτομένη (ephaptoménē). Dilynwyd ef ychydig wedyn gan Apollonius o Berga a ddiffiniodd y tangiad fel 'llinell, lle na all unrhyw linell arall fynd rhngddo a'r gromlin,^[4] a disgrifiwyd y tangiad hefyd gan Archimedes (c.  287 – c.  212 BC).

Hafaliad

Pan ddynodir y gromlin gan y = f(x) yna, mae goledd y tangiad yn ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},}$ ac felly, drwy'r fformiwla pwynt-goledd hafaliad llinell y tangiad ar (X, Y) yw

${\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}$

lle mae (x, y) yn gyfesurynnau unrhyw bwynt ar linell y tangiad, a lle mae'r deilliad yn cael ei werthuso ar ${\displaystyle x=X}$.^[5]

Pan ddynodir y gromlin gan y = f(x), gellir canfod hafaliad llinell y tangiad hefyd drwy dynnu polynomial, i rannu ${\displaystyle f\,(x)}$ by ${\displaystyle (x-X)^{2}}$; os nodir y gweddill gan ${\displaystyle g(x)}$, yna hafaliad llinell y tangiad yw

${\displaystyle y=g(x).}$^[6]

Termau tebyg

• plân tangiad - tangent plane
• tynnu tangiad - draw a tangent
• pwynt tangiadaeth - point of tangency

Cyfeiriadau

1. Leibniz, G., "Nova Methodus pro Maximis et Minimis", Acta Eruditorum, Hydref 1684.
2. termau.cymru; adalwyd 1 Hydref 2018.
3. Euclid. "Euclid's Elements". Cyrchwyd 1 Mehefin 2015.
4. Shenk, Al. "e-CALCULUS Section 2.8" (PDF). t. 2.8. Cyrchwyd 1 Mehefin 2015.
5. Edwards Art. 191
6. Strickland-Constable, Charles, "A simple method for finding tangents to polynomial graphs", Mathematical Gazette, Tachwedd 2005, 466–467.