Tebygolrwydd amodol

Tebygolrwydd amodol

Math	tebygolrwydd
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Diagram Euler, sy'n esbonio fod y tebygolrwydd amodol P(A) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Fodd bynnag, mae P(A|B₁) = 1, P(A|B₂) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75, a P(A|B₃) = 0.

Mae tebygolrwydd amodol yn fesur o debygolrwydd digwyddiad neu i rywbeth ddigwydd fel canlyniad i ddigwyddiad arall.^[1]

Dyweder mai'r digwyddiad dan sylw yw A a bod digwyddiad B yn sicr wedi digwydd, yna "mae tebygolrwydd amodol o A dan amod B", fel arfer yn cael ei sgwennu fel P(A|B), neu weithiau P_B(A) neu P(A/B). Er enghraifft, mae'r tebygolrwydd fod gan un person beswch ar ddiwrnod arbennig yn 5%, dyweder. Ond os gwyddom fod gan y person hwnnw annwyd trwm, yna mae'r siawns iddo fod yn peswch gryn dipyn yn uwch. Gall y siwns i berson gydag annwyd beswch fod mor uchel a 75%.

Disgrifiad drwy ddiagram Venn o debygolrwydd amodol.

Y cysyniad o debygolrwydd amodol yw un o'r cysyniadau mwyaf sylfaenol ac un o'r cysyniadau pwysicaf mewn damcaniaeth tebygolrwydd.^[2] Ond gall tebygolrwydd amodol achosi tramgwydd, ac mae angen dehongli'n ofalus.^[3] Er enghraifft, nid oes angen perthynas achosol rhwng A a B, ac nid oes rhaid iddynt ddigwydd ar yr un pryd.

Diffiniadau gwahanol

Diffiniad Kolmogorov

Mewn maes-sigma, o fewn tebygolrwydd, os ceir dau ddigwyddiad A a B, gyda'r tebygolrwydd diamod o B (hynny yw, i B ddigwydd), yn fwy na sero – P(B) > 0 – diffinnir tebygolrwydd amodol o A oherwydd B fel cyniferydd y tebygolrwydd o'r ddau ddigwyddiad A a B, a'r tebygolrwydd o B^[4]:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},}$

lle nodir tebygolrwydd y ddau ddigwyddiad gan ${\displaystyle P(A\cap B)}$.

Fel gwireb o debygolrwydd

Gwell gan rai mathemategwyr, fel Bruno de Finetti, gyflwyno tebygolrwydd amodol fel gwireb o debygolrwydd:

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)}$

Mae'r 'gwireb lluosi' yn cyflwyno cymesuredd ar gyfer digwyddiadau cwbwl unigryw:^[5]

${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-{\cancelto {0}{P(A\cap B)}}}$

Fel tebygolrwydd o ddigwyddiad amodol

Gellir diffinio tebygolrwydd amodol fel y tebygolrwydd o ddigwyddiad amodol ${\displaystyle A_{B}}$^[6]. O dderbyn fod yr arbrawf sy'n tanlinellu'r digwyddiadau ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ yn cael eu hailadrodd, yna gellir diffinio'r digwyddiad amodol (Goodman-Nguyen-van Fraassen) fel

${\displaystyle A_{B}=\bigcup _{i\geq 1}{\bigl (}{\underset {j<i}{\cap }}{\overline {B_{j}}},A_{i}B_{i}{\bigr )}}$

Gellir dangos fod

${\displaystyle P(A_{B})={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

sy'n boddhau diffiniad Kolmogorov o debygolrwydd amodol. Sylwer mai canlyniad damcaniaethol yw'r hafaliad:

${\displaystyle P(A_{B})=P(A\cap B)/P(B)}$ ac nid diffiniad.

Gweler hefyd

• Gofod tebygolrwydd
• Gofod y sampl
• Gwirebau tebygolrwydd

Cyfeiriadau

1. Gut, Allan (2013). Probability: A Graduate Course (arg. Second). New York, NY: Springer. ISBN 978-1-4614-4707-8.
2. Ross, Sheldon (2010). A First Course in Probability (arg. 8th). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0-13-603313-4.
3. Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference. Duxbury Press. ISBN 0-534-24312-6.
4. Kolmogorov, Andrey (1956), Foundations of the Theory of Probability, Chelsea
5. Gillies, Donald (2000); "Philosophical Theories of Probability"; Routledge; Pennod 4 "The subjective theory"
6. Draheim, Dirk (2017). "An Operational Semantics of Conditional Probabilities that Fully Adheres to Kolmogorov's Explication of Probability Theory". doi:10.13140/RG.2.2.10050.48323/3. Missing or empty |url= (help)