Ellipsoide

En ellipsoide er en lukket flade i et 3-dimensionalt rum. Man kan tænke på den som en 3D-analogi til ellipsen, på samme måde som kuglen er det for en cirkel.

Beskrivelse

Tri-aksial ellipsoide med forskellige halv-akser a, b og c

Omdrejnings-ellipsoide (sfæroide) med to ens halv-akser (a) og en tredje halv-akse (c) som også er symmetriaksen. Ellipsoiden er oblat hvis c er mindre end a, og prolat hvis c større end a.

Standardligningen for en ellipsoide centeret i origo af et Kartesisk koordinatsystem er:

${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}$

Hvor a, b, c er længden af de tre halv-akser målt på hhv. x-, y- og z-aksen.

Undertyper

Man kan underinddele ellipsoiden i fire forskellige tilfælde på baggrund af halv-aksernes indbyrdes længde:

• ${\displaystyle a>b>c}$ — tri-aksial ellipsoide
• ${\displaystyle a=b>c}$ — oblat omdrejningsellipsoide (oblat sfæroide)
• ${\displaystyle a=b<c}$ — prolat omdrejningsellipsoide (prolat sfæroide)
• ${\displaystyle a=b=c}$ — trivial tilfældet, en kugle

Rumfang

Rumfanget (V) af en ellipsoide er givet ved formlen:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc}$

Bemærk, at ligningen reduceres til rumfanget for en kugle når alle tre elliptiske radier er ens.

Overfladeareal

Overfladearealet (S) af en generel (tri-aksial) ellipsoide er^[1][2]

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin \phi }}\left(E(\phi ,k)\,\sin ^{2}\phi +F(\phi ,k)\,\cos ^{2}\phi \right),}$

hvor

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},\qquad a\geq b\geq c,}$

og F(φ,k), E(φ,k) er ukomplette elliptiske integraler af første og anden art respektive. DLMF: §19.2 Definitions Arkiveret 2. december 2012 hos Wayback Machine

For omdrejningsellipsoiden kan udtrykket reduceres til:

${\displaystyle S_{\rm {oblat}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\right)\quad {\mbox{hvor}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\quad (c<a).}$

${\displaystyle S_{\rm {prolat}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\sin ^{-1}e\right)\quad \qquad {\mbox{hvor}}\;\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}\quad (c>a).}$

I begge tilfælde kan e betragtes som excentriciteten af den ellipse der fremkommer ved et tværsnit gennem symmetriaksen.

Eksempler på ellipsoidelignende figurer i den virkelige verden

• Prolat-lignende: Bolden i rugby og amerikansk fodbold.
• Oblat-lignende: Grapefrugt, klassisk afrundet pille, planeter (herunder Jorden) samt de fleste dværgplaneter.
• Triaksial-lignende: Dværgplaneten Haumea, der roterer så hurtigt at den formentlig antager en triaksial ellipsoide form.

Benævnelser

Matematisk litteratur bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'tri-aksial ellipsoide'.

Videnskabelig litteratur (især geodæsi) bruger ofte 'ellipsoide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide' og benytter kun adjektivet 'tri-aksial' i det generelle tilfælde.

Ældre litteratur bruger 'sfæroide' i stedet for 'omdrejningsellipsoide'.

Ethvert plant snit gennem ellipsoidens centrum giver en ellipse (og en cirkel, hvis snitplanet er vinkelret på en omdrejningsellipsoides symmetriakse).

Ellipsoider i kartografi

Indenfor kartografien benyttes oblate omdrejningsellipsoider, kaldet referenceellipsoider, til at koordinatsætte punkter på Jorden.

Kilder

1. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, editors, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press), kan findes på nettet DLMF: §19.33 Triaxial Ellipsoids Arkiveret 2. december 2012 hos Wayback Machine (see next reference).
2. NIST (National Institute of Standards and Technology) på National Institute of Standards and Technology Arkiveret 17. juni 2015 hos Wayback Machine 29. dec. 2012