Hölders ulighed

I matematisk analyse er Hölders ulighed en fundamental ulighed, der relaterer L^p-rum, som er opkaldt efter den tyske matematiker Otto Hölder.

Lad S være et målrum, lad 1 ≤ p, q ≤ ∞ med 1/p + 1/q = 1 og lad f og g være målelige funktioner. Da gælder

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Specielt gælder for f i L^p(S) og g i L^q(S), at fg ligger i L¹(S).

Tallene p og q kaldes hinandens Hölderkonjugerede.

Hölders ulighed bruges til at vise trekantsuligheden i L^p og Minkowkis ulighed og bruges ligeledes til at opnå, at L^p og L^q er duale rum.

Hölders ulighed blev først fundet af Leonard James Rogers i 1888 og genopdaget af Hölder i 1889.

Vigtige specialtilfælde

• For p = q = 2 er Hölders ulighed blot Cauchy-Schwarz' ulighed.

• I tilfældet med euklidisk rum, dvs. hvis S er {1, …, n} med tællemålet, fås for alle x og y i Rⁿ (eller i Cⁿ), at

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|x_{k}y_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{q}\right)^{1/q}.}$

• Hvis S = N med tællemålet fås Hölders ulighed for følger i ${\displaystyle \ell ^{p}}$:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\;\forall x\in \ell ^{p},y\in \ell ^{q}.}$

• For rummet af integrable funktioner med komplekse værdier, haves

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \int {\bigg |}f(x)g(x){\bigg |}\,dx\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\cdot \left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$

Bevis

Beviset for uligheden hænger på Youngs ulighed: for ikke-negative a og 1/p ∈ (0,1) med 1/p+1/q=1 gælder

${\displaystyle ab\leq a^{p}/p+b^{q}/q,}$

og der gælder lighed hvis og kun hvis a^p = b^q

Hölders ulighed er triviel at vise, hvis enten f eller g har uendelig norm eller norm nul, så ved at dividere hver funktion med funktionens norm, kan det antages, at

${\displaystyle \|f\|_{p}=\|g\|_{q}=1.}$

Ved at bruge Youngs ulighed med a = |f(x)| og b = |g(x)|, fås for alle x i det pågældende målrum, at

${\displaystyle |f(x)g(x)|\leq {\frac {1}{p}}|f(x)|^{p}+{\frac {1}{q}}|g(x)|^{q}.}$

Integration giver nu

${\displaystyle \|fg\|_{1}\leq {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1=\|f\|_{p}\|g\|_{q},}$

hvilket viser påstanden.