Invertibel matrix

Indenfor lineær algebra har en matrix A egenskaben invertibel, hvis og kun hvis der eksisterer en matrix B således at:

${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {\underline {B}}}={\underline {\underline {B}}}{\underline {\underline {A}}}={\underline {\underline {I}}}}$

hvor ${\displaystyle {\underline {\underline {I}}}}$ er enhedsmatricen. I så fald kaldes ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ en invertibel matrix og ${\displaystyle {\underline {\underline {B}}}}$ kaldes den inverse matrix til ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ og skrives ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}^{-1}}$.^[1] Det følger af definitionen at både ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ og ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}^{-1}}$ er kvadratiske matricer af samme dimension n×n.

En invertibel matrix kaldes også for en regulær matrix (eller en ikke-singulær matrix).^[2][3] En kvadratisk matrix som ikke er invertibel kaldes for en singulær matrix (eller en ikke-regulær matrix).^[2][3]

Ækvivalente egenskaber

At en n × n-matrix ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ er invertibel er ækvivalent med at:

• Determinanten af ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ ikke er nul, det ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ ≠ 0.
• ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$ har rang n.
• Ligningen ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\vec {x}}={\vec {0}}}$ har kun den trivielle løsningen ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {0}}}$. Med andre ord, nulrummet består kun af nulvektoren.
• Den transponerede ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}^{T}}$ er invertibel.
• Tallet 0 er ikke en egenværdi til ${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}$.

Se også

• Gauss-elimination

Referencer

1. "Invertible Matrices". www.sosmath.com. Arkiveret fra originalen 2022-11-20. Hentet 2020-09-08.
2. Side 3: alsholm.dk: Matrixalgebra. Preben Alsholm. 25. februar 2008, backup
3. data.math.au.dk: Invertible matricer, backup