Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Ikke at forveksle med Boltzmann-fordelingen.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen for forskellige temperaturer, hvor ${\displaystyle x=v}$ og ${\displaystyle a={\sqrt {\frac {k_{\text{B}}T}{m}}}}$. Det ses, at fordelingen forskydes mod højere hastigheder, når temperaturen stiger.

Maxwell-Boltzmann-fordelingen beskriver hastigheds- og fartfordelingen af partiklerne i en idealgas i termisk ligevægt jf. den kinetiske gasteori. Fordelingen af fart ${\displaystyle v}$ er givet ved:

${\displaystyle f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}{\text{e}}^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}$

hvor ${\displaystyle T}$ er gassens temperatur, ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ er Boltzmanns konstant, og ${\displaystyle m}$ er en enkelt partikels masse. Hvis en tilfældig partikel i gassen udvælges, er sandsynligheden for, at den har en fart i intervallet ${\displaystyle v}$ til ${\displaystyle v+{\text{d}}v}$ altså givet ved ${\displaystyle f(v){\text{d}}v}$.^[1]

Udledning

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden udover ved elastiske sammenstød, er deres energi ${\displaystyle E}$ blot lig med deres kinetiske energi

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}}$

hvor ${\displaystyle {\vec {v}}}$ er hastigheden.^[1]

Hastighedsfordeling

Jf. Boltzmann-fordelingen må fordelingen af kinetisk energi følge en eksponentialfunktion:

${\displaystyle f_{\vec {v}}({\vec {v}})\propto {\text{e}}^{-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}}={\text{e}}^{-{\frac {m{\vec {v}}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}$

Da

${\displaystyle {\vec {v}}^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}$

for hver retning ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ og ${\displaystyle z}$, er fordelingsfunktionen altså en funktion af tre variable:

${\displaystyle f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y})\propto {\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}$

En én-dimensionel normalfordeling omkring 0.

Det ses, at fordelingen er fordelt sfærisk symmetrisk omkring 0 som en normalfordeling, hvilket vil sige, at partiklerne ikke bevæger sig i en foretrukken retning. For at normere fordelingen skal integralet give 1:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y}){\text{d}}{{v}_{x}}{\text{d}}{{v}_{y}}{\text{d}}{{v}_{z}}=1}$

Da det gaussiske integrale er^[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-\alpha x^{2}}{\text{d}}x={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}}$

må det for fordelingsfunktionen gælde:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{x}}{\text{d}}{{v}_{y}}{\text{d}}{{v}_{z}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{x}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{x}}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{y}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{y}}\int _{-\infty }^{\infty }{\text{e}}^{-{\frac {mv_{z}^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}{\text{d}}{{v}_{z}}={\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}{\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}{\sqrt {\frac {2\pi k_{\text{B}}T}{m}}}}$

Dermed er fordelingsfunktionen for hastigheder

${\displaystyle f_{\vec {v}}(v_{x},v_{y},v_{y})=\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}{\text{e}}^{-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2k_{\text{B}}T}}}}$

Det ses desuden, at fordelingen flader ud, jo højere temperaturen bliver.^[1]

Fartfordelingen

Fartfordelingen for forskellige ædelgasser ved 298.15 K (25 °C). Jo lettere atomerne er, jo mere udfladet er fordelingen.

For at finde fartfordelingen skal hastighedernes retninger integreres væk. Pga. symmetrien kan sfæriske koordinater med fordel bruges:

${\displaystyle \int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }f_{\vec {v}}(v,\Omega )v^{2}{\text{d}}v{\text{d}}\Omega =1}$

Her er ${\displaystyle \Omega }$ rumvinklen. Integralet over rumvinklen er ${\displaystyle 4\pi }$, så fartfordelingen bliver

${\displaystyle f(v)={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {m}{2k_{\text{B}}T}}\right)^{\frac {3}{2}}v^{2}{\text{e}}^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{\text{B}}T}}}}$

I modsætning til hastighedsfordelingen er fartfordelingen altså ikke symmetrisk omkring 0.^[1]

Kildehenvisninger

1. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "5 The Maxwell–Boltzmann distribution". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 46-48. ISBN 978-0-19-856770-7.
2. Blundell, Stephen J.; Blundell, Katherine M. (2006). "C.2 The Gaussian integral". Concepts in Thermal Physics (engelsk) (1. udgave). Oxford University Press. s. 437. ISBN 978-0-19-856770-7.

• Wikimedia Commons har flere filer relateret til Maxwell-Boltzmann-fordelingen