257-Eck

Regelmäßiges 257-Eck oder Kreis?

Das 257-Eck ist eine geometrische Figur, genauer ein Polygon. Es ist definiert durch 257 Ecken, die durch ebenso viele Kanten zu einer geschlossenen Figur verbunden sind.

In der Regel ist mit dieser Bezeichnung das regelmäßige 257-Eck gemeint, welches konvex ist, bei dem alle Seiten gleich lang sind und dessen Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Konstruktion

Das Besondere am regelmäßigen 257-Eck ist die Tatsache, dass es unter Beschränkung auf die Hilfsmittel Zirkel und Lineal (die Euklidischen Werkzeuge) konstruiert werden kann. Die Zahl 257 ist eine der fünf bekannten Fermatschen Primzahlen:

${\displaystyle 257=2^{8}+1}$.

Carl Friedrich Gauß bewies im Jahre 1796, dass ein regelmäßiges Vieleck genau dann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, wenn die Zahl seiner Ecken abgesehen von einer beliebigen Zweierpotenz gleich einem Produkt verschiedener Fermat'scher Primzahlen ist.

Eine Konstruktionsanleitung für das regelmäßige 257-Eck wurde erstmals im Jahre 1822 von Magnus Georg Paucker^[1] präsentiert und nochmals 1832 durch Friedrich Julius Richelot.^[2] Duane W. DeTemple veröffentlichte 1991 ein Konstruktionsverfahren unter Verwendung von 150 Hilfskreisen.^[3] 1999 publizierte Christian Gottlieb eine weitere Konstruktionsvorschrift (s. Literatur).

Die praktische Durchführung der Konstruktion ist per Hand kaum möglich, da die Anforderungen an Präzision bei der notwendigen Größe sehr schwer einzuhalten sind.

Nach Duane W. DeTemple, Konstruktion des 257-Eck unter Verwendung des Carlyle-Kreises.

Mathematischer Hintergrund

Der Konstruktion liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung ${\displaystyle x^{257}-1=0}$^[2] mittels geschachtelter Quadratwurzeln zugrunde. Diese Auflösung geschieht analog zum für das Siebzehneck beschriebenen Weg, wobei wie dort als Primitivwurzel wieder ${\displaystyle g=3\ }$ gewählt werden kann.

Eigenschaften

Anschauungsbild des 257-Ecks

Der Zentriwinkel hat den Wert   ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{257}}\approx 1{,}4^{\circ }}$.

Der Innenwinkel hat den Wert   ${\displaystyle {\frac {257-2}{257}}\cdot 180^{\circ }\approx 178{,}6^{\circ }}$.

Siehe auch

• Prothsche Primzahl
• 65537-Eck

Literatur

• Christian Gottlieb: The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon. In: Mathematical Intelligencer. Vol. 21, No. 1, 1999, S. 31–37, doi:10.1007/BF03024829.

Einzelnachweise

1. Magnus Georg Paucker: Das regelmäßige Zweyhundertsiebenundfunfzig-Eck im Kreise. In: Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst. 2. Jahrgang, 1822, S. 160–219 (google.de).  Abgerufen am 10. Dezember 2015.
2. Friedrich Julius Richelot: De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, ... In: Source: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 9. Jahrgang, 1832, S. 1–26, 146–161, 209–230, 337–358 (Latein, uni-goettingen.de).  Abgerufen am 10. Dezember 2015.
3. Duane W. DeTemple: Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions. In: The American Mathematical Monthly. 98. Jahrgang, Nr. 2, Februar 1991, S. 104–107 (apollonius.math.nthu.edu.tw (Memento des Originals vom 21. Dezember 2015 im Internet Archive)).  Abgerufen am 16. Juli 2016.

Weblinks

• Das 257-Eck auf www.mathworld.com (englisch)
• 257-Eck auf mathematik-olympiaden.de, mit Video; abgerufen am 14. August 2018