Abrundungsfunktion und Aufrundungsfunktion

Die Abrundungsfunktion (auch Gaußklammer, Ganzzahl-Funktion, Ganzteilfunktion oder Entier-Klammer) und die Aufrundungsfunktion sind Funktionen, die jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere bzw. nicht kleinere ganze Zahl zuordnen. Die Notation wurde nach Carl Friedrich Gauß benannt, der das Symbol ${\displaystyle \left[x\right]}$ für die Abrundungsfunktion 1808 einführte.^[1] Ende des 20. Jahrhunderts verbreiteten sich auch die von Kenneth E. Iverson eingeführten Bezeichnungen ${\displaystyle \operatorname {floor} (x)}$ und ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ (englisch floor „Boden“) für die Gaußklammer sowie ${\displaystyle \operatorname {ceil} (x)}$ und ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ (englisch ceiling „Decke“) für die Aufrundungsfunktion.^[2] Im Deutschen bezieht sich das Wort Gaußklammer ohne weitere Zusätze meist auf die ursprüngliche von Gauß verwendete Notation.^[3][4] Für die von Iverson eingeführten Varianten werden dann zur Unterscheidung die Bezeichnungen untere Gaußklammer und obere Gaußklammer verwendet.^[5]

Zeichensatz

Die Zeichen für die Abrundungs- und Aufrundungsfunktion sind weiterentwickelte eckige Klammern und können in den verschiedenen Umgebungen folgendermaßen kodiert werden:

	LEFT FLOOR	⌊		U+230A	(HTML ⌊	⌊)
	RIGHT FLOOR	⌋		U+230B	(HTML ⌋	⌋)
	LEFT CEILING	⌈		U+2308	(HTML ⌈	⌈)
	RIGHT CEILING	⌉		U+2309	(HTML ⌉	⌉)

Im Textsatzsystem LaTeX können diese Zeichen im math-Modus als \lfloor, \rfloor, \lceil und \rceil oder seit 2018 auch direkt als Unicode-Zeichen angegeben werden.^[6]

Abrundungsfunktion oder Gaußklammer

Abrundungsfunktion oder Gaußklammerfunktion

Definition

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ ist:

${\displaystyle \lfloor x\rfloor :=\max\{k\in \mathbb {Z} \mid k\leq x\}}$

Beispiele

• ${\displaystyle \lfloor 2{,}8\rfloor =2}$
• ${\displaystyle \lfloor -2{,}8\rfloor =-3}$

  Man beachte, dass ${\displaystyle \lfloor -2{,}8\rfloor }$ nicht etwa gleich ${\displaystyle -2}$ ist. Die Definition verlangt ja ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x}$, und es ist ${\displaystyle -2>-2{,}8}$.

• ${\displaystyle \lfloor -2{,}2\rfloor =-3}$
• ${\displaystyle \lfloor 2\rfloor =2}$

Eigenschaften

• Für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,x\in \mathbb {R} }$ gilt

  ${\displaystyle k\leq \lfloor x\rfloor \Longleftrightarrow k\leq x}$.

• Es gilt immer ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq x<\lfloor x\rfloor +1}$. Dabei ist ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x}$ eine ganze Zahl ist.
• Für jede ganze Zahl ${\displaystyle k}$ und jede reelle Zahl ${\displaystyle x}$ gilt

  ${\displaystyle \lfloor x+k\rfloor =\lfloor x\rfloor +k}$.

• Für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x,y}$ gilt

  ${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \leq \lfloor x+y\rfloor \leq \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1}$.

• Für jede ganze Zahl ${\displaystyle k}$ und jede natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ gilt

  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {k}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {k-n+1}{n}}}$.

• Die Abrundungsfunktion ist idempotent: Es gilt

  ${\displaystyle {\bigl \lfloor }\lfloor x\rfloor {\bigr \rfloor }=\lfloor x\rfloor }$.

• Sind ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ teilerfremde natürliche Zahlen, dann gilt

  ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {jm}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)}{2}}}$.

• Die Abrundungsfunktion ist nicht stetig, aber oberhalbstetig.
• Für nichtganze reelle ${\displaystyle x}$ konvergiert die Fourierreihe der ${\displaystyle 1}$-periodischen Funktion ${\displaystyle \lfloor x\rfloor -x}$, und es gilt

  ${\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin {(2k\pi x)}}{k}}}$.

• Sind ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so gilt
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor }$.
  Daraus folgt direkt, dass, falls ${\displaystyle m\neq 0}$,
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {\lfloor x/m\rfloor }{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {x}{mn}}\right\rfloor }$.
  Ferner gilt auch
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {m-n+1}{n}}\right\rceil }$.
• Für reelle Zahlen ${\displaystyle x,y\geq 0}$ gilt außerdem
  ${\displaystyle \lfloor x\rfloor \cdot \lfloor y\rfloor \leq \lfloor x\cdot y\rfloor }$

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie Int(), Floor() oder entier um.

Aufrundungsfunktion

Aufrundungsfunktion

Definition

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle x}$ ist ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich ${\displaystyle x}$ ist.

${\displaystyle \lceil x\rceil :=\min\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq x\}}$

Beispiele

• ${\displaystyle \lceil 2{,}8\rceil =3}$
• ${\displaystyle \lceil 2{,}3\rceil =3}$
• ${\displaystyle \lceil -2{,}8\rceil =-2}$
• ${\displaystyle \lceil 2\rceil =2}$

Eigenschaften

• Es gilt analog
  ${\displaystyle \lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil }$.
• Sind ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so gilt
  ${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil }$.
  Daraus folgt direkt, dass, falls ${\displaystyle m\neq 0}$,
  ${\displaystyle \left\lceil {\frac {\lceil x/m\rceil }{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {x}{mn}}\right\rceil }$.

Programmierung

Programmiersprachen setzen dies mit Funktionen wie ceil() oder ceiling um.

Allgemeine Eigenschaften

Gaußklammer und Dezimalstellen

Es gilt für positive Zahlen:

${\displaystyle x=\lfloor x\rfloor +\operatorname {frac} (x)}$

Die Funktion ${\displaystyle \operatorname {frac} (x)}$ liefert dabei den Nachkommaanteil mit ${\displaystyle 0\leq \operatorname {frac} (x)<1}$.

Zusammenhänge zwischen Auf- und Abrundungsfunktion

• Es ist stets
  ${\displaystyle \lceil x\rceil +\lfloor -x\rfloor =0}$
  Deshalb erhält man die Aufrundungsfunktion aus der Gaußklammerfunktion per
  ${\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }$
• Es ist stets
  ${\displaystyle \left\lceil x\right\rceil \leq y\Longleftrightarrow x\leq \left\lfloor y\right\rfloor }$
  ${\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor <y\Longleftrightarrow x<\left\lceil y\right\rceil }$
• Für ganze Zahlen ${\displaystyle k}$ gilt:
  ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {k}{2}}\right\rceil =k}$

Kaufmännische Rundung

Die kaufmännische Rundung auf die nächstliegende ganze Zahl kann auch mit diesen Funktionen ausgedrückt werden:

• ${\displaystyle \lfloor x+0{,}5\rfloor }$ für ${\displaystyle x\geq 0}$
• ${\displaystyle \lceil x-0{,}5\rceil }$ für ${\displaystyle x<0}$

Dasselbe Ergebnis liefert, wenn auch mit einer etwas komplizierteren Formel, dafür ohne Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens des Arguments, die Funktion

• ${\displaystyle \lfloor |x|+0{,}5\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Floor Function. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Ceiling Function. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Earliest Uses of Function Symbols: Until recently [x] has been the standard symbol for the greatest integer function. According to Grinstein (1970), "The use of the bracket notation, which has led some authors to term this the bracket function, stems back to the work of Gauss (1808) in number theory. The function is also referred to by Legendre who used the now obsolete notation E(x)." The Gauss reference is to Theorematis arithmetici demonstratio nova. Werke Volume: Bd. 2 p. 5. (aufgerufen am 25. Juli 2009).
2. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C): The terms Ceiling Function and appear in Kenneth E. Iverson’s A Programming Language (1962, p. 12): “Two functions are defined: 1. the floor of x (or integral part of x) denoted by ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ and defined as the largest integer not exceeding x, 2. the ceiling of x denoted by ${\displaystyle \lceil x\rceil }$ and defined as the smallest integer not exceeded by x.” This was the first appearance of the terms and symbols, according to R. L. Graham, D. E. Knuth & O. Patashnik Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989, p. 67). (aufgerufen am 25. Juli 2009).
3. Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Springer, 2013, ISBN 978-3-0348-5167-1, S. 115
4. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 978-3-642-97622-3, S. 28
5. Jürgen Groß: Grundlegende Statistik mit R: Eine anwendungsorientierte Einführung in die Verwendung der Statistik Software R. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1039-7, S. 33-34
6. LaTeX News, Issue 28. (PDF; 379 KB) The LaTeX Project, April 2018, abgerufen am 27. Juli 2024 (englisch).