Alexandra Rapaport wurde 1971 als Tochter polnischstämmiger Eltern geboren. Ihr jüdischer Vater floh während des Zweiten Weltkriegs von Polen nach Schweden. Alexandra Rapaport wuchs in ihrer Geburtsstadt Bromma auf. Später studierte sie Schauspiel an der Theaterhochschule in Stockholm, wo sie 1997 ihren Abschluss machte.
In Schweden wurde sie zunächst bekannt als Soapdarstellerin. Ihren Durchbruch als Filmschauspielerin erzielte sie 1999 in dem Kinderfilm Tsatsiki – Tintenfische und erste Küsse. Im deutschsprachigen Raum wurde sie durch die Rolle der Nora Linde in der im ZDF und ARTE ausgestrahlten schwedischen Krimireihe Mord im Mittsommer bekannt.
Alexandra Rapaport ist mit Joakim Eliasson verheiratet, mit dem sie einen 2007 geborenen Sohn und eine 2010 geborene Tochter hat. Eine ihrer Nichten war die 2016 verunglückte Freeride-Sportlerin Matilda Rapaport.