Artin-Schreier-Theorie

Die Artin-Schreier-Theorie gehört in der Mathematik zur Körpertheorie. Für Körper positiver Charakteristik ${\displaystyle p}$ beschreibt sie abelsche Galois-Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle p}$ und ergänzt damit die Kummer-Theorie. Sie ist benannt nach Emil Artin und Otto Schreier.^[1]

Motivation: zyklische Erweiterungen vom Grad p

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p.}$ Der Ausgangspunkt der Artin-Schreier-Theorie ist das Artin-Schreier-Polynom

${\displaystyle f_{a}(X)=X^{p}-X-a}$

für ein ${\displaystyle a\in K.}$ Aus dem kleinen Satz von Fermat oder abstrakter aus den Eigenschaften des Frobeniushomomorphismus folgt: Für ${\displaystyle c\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle f_{a}(X+c)=f_{a}(X).}$ Daraus ergibt sich: Ist ${\displaystyle \omega }$ eine Nullstelle von ${\displaystyle f_{a}(X)}$ in einem Erweiterungskörper von ${\displaystyle K,}$ dann sind die weiteren Nullstellen ${\displaystyle \omega +1,\omega +2,\dots ,\omega +(p-1).}$ Hat ${\displaystyle f_{a}(X)}$ keine Nullstelle in ${\displaystyle K,}$ ist es folglich irreduzibel, und der Erweiterungskörper ${\displaystyle K(\omega )/K}$ ist galoissch mit Galois-Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,}$ erzeugt von ${\displaystyle \omega \mapsto \omega +1.}$

Sei umgekehrt ${\displaystyle L/K}$ eine Galois-Erweiterung vom Grad ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle \sigma }$ ein Erzeuger der Galois-Gruppe. Nach dem Normalbasissatz existiert ein ${\displaystyle x\in L,}$ sodass ${\displaystyle x,\sigma x,\dots ,\sigma ^{p-1}x}$ eine Basis von ${\displaystyle L}$ als ${\displaystyle K}$-Vektorraum ist. Nach Konstruktion ist die Spur

${\displaystyle {\text{Spur}}_{L/K}(x)=x+\sigma x+\dots +\sigma ^{p-1}x}$

nicht 0. Setze

${\displaystyle \omega =-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot \sigma ^{k}x.}$

Dann ist

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\omega )&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p-1}k\cdot \sigma ^{k+1}x\\&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\left(\sum _{k=0}^{p-1}(k+1)\cdot \sigma ^{k+1}x-\sum _{k=0}^{p-1}\sigma ^{k+1}x\right)\\&=-{\frac {1}{{\text{Spur}}_{L/K}(x)}}\sum _{k=1}^{p}k\cdot \sigma ^{k}x+1\\&=\omega +1\end{aligned}}}$

und folglich

${\displaystyle \sigma (\omega ^{p}-\omega )=(\sigma \omega )^{p}-\sigma \omega =(\omega +1)^{p}-(\omega +1)=\omega ^{p}-\omega .}$

Daher ist ${\displaystyle a=\omega ^{p}-\omega }$ invariant unter der Galois-Gruppe, liegt also in ${\displaystyle K.}$

Das so konstruierte Element ${\displaystyle a\in K}$ hängt von der Wahl von ${\displaystyle x}$ ab, aber in kontrollierter Weise: Ist ${\displaystyle \omega _{1}\in L}$ ein anderes Element mit ${\displaystyle \sigma \omega _{1}=\omega _{1}+1,}$ dann ist ${\displaystyle \sigma (\omega -\omega _{1})=(\omega +1)-(\omega _{1}+1)=\omega -\omega _{1},}$ also ist ${\displaystyle \omega _{1}=\omega +d}$ mit einem Element ${\displaystyle d\in K,}$ und

${\displaystyle \omega _{1}^{p}-\omega _{1}=(\omega +d)^{p}-(\omega +d)=\omega ^{p}+d^{p}-\omega -d=a+(d^{p}-d).}$

Folglich ist die Restklasse von ${\displaystyle a}$ modulo ${\displaystyle \{d^{p}-d:d\in K\}}$ eindeutig bestimmt.

Resultate

Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p>0.}$

• Sei ${\displaystyle \wp K=\{d^{p}-d:d\in K\}.}$ Die Abbildung, die einem Element ${\displaystyle a\in K}$ den Zerfällungskörper des Polynoms ${\displaystyle X^{p}-X-a}$ zuordnet, induziert eine Bijektion von ${\displaystyle (K/\wp K)\setminus \{0\}}$ auf die Menge der Isomorphieklassen von Galois-Erweiterungen von ${\displaystyle K}$ vom Grad ${\displaystyle p.}$

Die allgemeinere Fassung von Ernst Witt lautet:^[2]

• Sei ${\displaystyle K^{\text{sep}}}$ ein separabler Abschluss von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle \wp :K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}}}$ der additive Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle x\mapsto x^{p}-x.}$ Dann gibt es die folgende explizite Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von ${\displaystyle K/\wp K}$ und der Menge der (nicht notwendigerweise endlichen) abelschen Erweiterungen von ${\displaystyle K}$ vom Exponenten ${\displaystyle p}$ (d. h. für jedes Element ${\displaystyle \sigma }$ der Galoisgruppe gilt ${\displaystyle \sigma ^{p}={\text{id}}}$): Eine Untergruppe von ${\displaystyle \Delta \subseteq K/\wp K}$ werde mit ihrem Urbild in ${\displaystyle K}$ identifiziert. Dann ist ${\displaystyle K(\wp ^{-1}(\Delta ))/K}$ die zugehörige abelsche Erweiterung vom Exponenten ${\displaystyle p.}$ Für endliche Untergruppen ${\displaystyle \Delta \subseteq K/\wp K}$ ist ${\displaystyle [K(\wp ^{-1}(\Delta )):K]=|\Delta |.}$ Die Umkehrabbildung ordnet einer Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ die Gruppe ${\displaystyle (K\cap \wp L)/\wp K}$ zu.

Galoiskohomologische Interpretation

Sei weiterhin ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle K^{\text{sep}}}$ ein separabler Abschluss von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle \wp \colon K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}},\ x\mapsto x^{p}-x.}$ Sei außerdem ${\displaystyle G_{K}={\text{Gal}}(K^{\text{sep}}/K)}$ die absolute Galoisgruppe von ${\displaystyle K.}$ Das Polynom ${\displaystyle X^{p}-X-a}$ ist für jedes ${\displaystyle a\in K^{\text{sep}}}$ separabel, weil seine Ableitung ${\displaystyle pX^{p-1}-1=-1}$ ist. Deshalb ist der Homomorphismus ${\displaystyle \wp \colon K^{\text{sep}}\to K^{\text{sep}}}$ surjektiv. Sein Kern ist ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$ Man erhält also eine kurze exakte Sequenz von ${\displaystyle G_{K}}$-Moduln:

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K^{\text{sep}}{\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}K^{\text{sep}}\to 0.}$

Sie induziert in der Galoiskohomologie eine lange exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K{\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}K\to {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0.}$

Dabei wurde verwendet:

• ${\displaystyle H^{0}(G_{K},K^{\text{sep}})=K.}$
• ${\displaystyle H^{1}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )={\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ (stetige Homomorphismen), weil ${\displaystyle G_{K}}$ trivial auf ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ operiert.
• ${\displaystyle H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0,}$ weil ${\displaystyle H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=\varinjlim H^{1}({\text{Gal}}(L/K),L)}$ über alle endlichen Galois-Erweiterungen von ${\displaystyle K}$ ist. Mit einer Verallgemeinerung des oben angegebenen Arguments mit dem Normalbasissatz kann man ${\displaystyle H^{1}({\text{Gal}}(L/K),L)=0}$ zeigen.

Für die Betrachtung von Erweiterungen vom Grad ${\displaystyle p}$ ist die allgemeine Aussage aber nicht erforderlich: Sei ${\displaystyle L/K}$ eine Galois-Erweiterung vom Grad ${\displaystyle p.}$ Dann ist ${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)\cong \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ,}$ und durch Verkettung mit der Projektion ${\displaystyle G_{K}\to {\text{Gal}}(L/K)}$ erhält man einen Homomorphismus ${\displaystyle h\colon G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$ Mit der Einbettung ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to K^{\text{sep}}}$ erhält man einen 1-Kozykel ${\displaystyle c\in H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}}),}$ der aber schon in der Untergruppe ${\displaystyle H^{1}({\text{Gal}}(L/K),L)}$ liegt. Das oben konstruierte Element ${\displaystyle \omega \in L}$ hat die Eigenschaft ${\displaystyle c(\sigma )=\sigma \omega -\omega }$ für alle ${\displaystyle \sigma \in {\text{Gal}}(L/K),}$ also ist ${\displaystyle c}$ ein 1-Korand. Die allgemeine gruppenkohomologische Konstruktion zeigt, dass ${\displaystyle \wp (\omega )}$ ein Urbild von ${\displaystyle h}$ unter dem Verbindungshomomorphismus ist.

Ist umgekehrt ${\displaystyle a\in K}$ gegeben, kann man ein Urbild ${\displaystyle \omega \in \wp ^{-1}(a)}$ wählen, und der Homomorphismus ${\displaystyle h\colon G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle h(\sigma )=\sigma \omega -\omega .}$ Der Kern von ${\displaystyle h}$ und ${\displaystyle L=K(\omega )}$ entsprechen einander unter der Galois-Korrespondenz.

Also ist der sich aus der langen exakten Sequenz ergebende Isomorphismus ${\displaystyle K/\wp K\to {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ mit der weiter oben erläuterten expliziten Konstruktion identisch.

Für die allgemeinere Aussage über Untergruppen muss man noch Untergruppen von ${\displaystyle {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ mit Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle p}$ identifizieren: Einer Untergruppe ${\displaystyle \Delta \subseteq {\text{Hom}}(G_{K},\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$ entspricht der Fixkörper von ${\displaystyle \textstyle \bigcap _{h\in \Delta }\ker(h),}$ einer abelschen Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ vom Exponenten ${\displaystyle p}$ entspricht die Untergruppe der Homomorphismen, die über den Quotienten ${\displaystyle G_{K}\to {\text{Gal}}(L/K)}$ faktorisieren.

Artin-Schreier-Symbol und Klassenkörpertheorie

Das Artin-Schreier-Symbol ist eine Ergänzung zum Potenzrestsymbol und dient wie dieses der expliziten Beschreibung der lokalen Reziprozitätsabbildung und führt so zu einer Teilaussage des Existenzsatzes der lokalen Klassenkörpertheorie. Sei ${\displaystyle K}$ ein lokaler Körper der Charakteristik ${\displaystyle p>0,}$ d. h. isomorph zu einem formaler Laurentreihenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}((T))}$ für eine Potenz ${\displaystyle q=p^{e}.}$ Das Artin-Schreier-Symbol entsteht aus der kohomologischen Paarung

${\displaystyle K/\wp K\times G_{K}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

durch Verkettung mit der Reziprozitätsabbildung ${\displaystyle ({-},{*}/K)\colon K^{*}\to G_{K}^{\text{ab}}.}$ Ist ${\displaystyle a\in K}$ und ${\displaystyle \omega \in K^{\text{sep}}}$ mit ${\displaystyle \wp (\omega )=a}$ und ${\displaystyle b\in K^{*},}$ dann gilt:

${\displaystyle [a,b)=(b,{*}/K)\omega -\omega .}$

Das Artin-Schreier-Symbol induziert eine nicht ausgeartete Bilinearform

${\displaystyle K/\wp K\times K^{*}/(K^{*})^{p}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$

Weitere Eigenschaften sind:

• Es gilt ${\displaystyle [a,b)=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle b}$ eine Norm in der Erweiterung ${\displaystyle K(\omega )/K}$ ist.
• Es gilt ${\displaystyle [a,a)=0}$ für alle ${\displaystyle a\in K^{*}.}$

Das Artin-Schreier-Symbol hat die folgende explizite Beschreibung: Sei ${\displaystyle dT}$ ein Symbol, ${\displaystyle \Omega =\mathbb {F} _{q}((T))\cdot dT}$ der eindimensionale, von ${\displaystyle dT}$ aufgespannte Vektorraum sowie

${\displaystyle d\colon \mathbb {F} _{q}((T))\to \Omega ,\ \ \sum a_{n}T^{n}\mapsto \left(\sum a_{n}\cdot nT^{n-1}\right)dT}$

und die Residuenabbildung

${\displaystyle {\text{res}}\colon \Omega \to \mathbb {F} _{q},\ \ \left(\sum a_{n}T^{n}\right)dT\mapsto a_{-1}.}$

(Die Konstruktion ist unabhängig vom Isomorphismus ${\displaystyle K\cong \mathbb {F} _{q}((T)).}$) Für ${\displaystyle a\in K}$ und ${\displaystyle b\in K^{*}}$ ist dann:^[3]

${\displaystyle [a,b)={\text{Spur}}_{\mathbb {F} _{q}/\mathbb {F} _{p}}\ {\text{res}}\left(a\cdot {\frac {db}{b}}\right).}$

Aus dieser Formel kann man nachweisen, dass das Artin-Schreier-Symbol wie behauptet nicht ausgeartet ist. Daraus folgt, dass ein Element in ${\displaystyle K^{*},}$ das für jede Galois-Erweiterung ${\displaystyle L/K}$ vom Grad ${\displaystyle p}$ in der Normengruppe ${\displaystyle N_{L/K}L^{*}}$ liegt, eine ${\displaystyle p}$-te Potenz ist. Daraus folgt, dass der Schnitt aller Normengruppen trivial ist, ein wesentlicher Schritt (je nach Zugang) im Beweis des lokalen Existenzsatzes.^[4]

Die lokalen Artin-Schreier-Symbole lassen sich auch zu einer globalen Paarung

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}/\wp \mathbb {A} _{K}\times I_{K}/I_{K}^{p}\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

(dabei ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$ der Adelring und ${\displaystyle I_{K}=\mathbb {A} _{K}^{*}}$ die Idelgruppe) zusammensetzen und für den Beweis des globalen Existenzsatzes im Funktionenkörperfall benutzen.^[5]

Geometrische Sichtweise

Im Zentrum der geometrischen Betrachtung steht der Artin-Schreier-Morphismus

${\displaystyle \wp =F-1:\mathbb {G} _{a}\to \mathbb {G} _{a},}$

der als Lang-Isogenie für die additive Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}=\mathbb {A} ^{1}}$ aufgefasst werden kann (${\displaystyle F}$ ist der relative Frobeniusmorphismus). ${\displaystyle \wp }$ ist eine (zusammenhängende und mithin nicht triviale) étale Galois-Überlagerung mit Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .}$ Die Existenz von ${\displaystyle \wp }$ zeigt, dass die geometrische étale Fundamentalgruppe der affinen Geraden nicht trivial ist, im Unterschied zur Situation in Charakteristik 0.

Ein Körperelement ${\displaystyle a\in K}$ entspricht einem Morphismus ${\displaystyle a:{\text{Spec }}K\to \mathbb {G} _{a},}$ und die Faser von ${\displaystyle \wp }$ über ${\displaystyle a}$ ist entweder der triviale ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$-Torsor oder die durch das Polynom ${\displaystyle X^{p}-X-a}$ definierte Artin-Schreier-Erweiterung von ${\displaystyle K.}$

Zum Artin-Schreier-Torsor assoziierte Garben sind relevant für die Fourier-Deligne-Transformation.^[6]

Artin-Schreier-Witt-Theorie

Die hier skizzierte Theorie verallgemeinert die Artin-Schreier-Theorie auf Erweiterungen, deren Exponent eine Potenz von ${\displaystyle p}$ ist. Sie ist der Inhalt der Arbeit von Witt, in der er die Wittvektoren einführt.^[7] Der erste Teil ist eine allgemeine Aussage über abelsche Erweiterungen von Körpern der Charakteristik ${\displaystyle p,}$ der zweite Teil eine explizite Beschreibung eines Teils der lokalen Klassenkörpertheorie im Fall von Funktionenkörpern.

Sei wieder ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle K^{\text{sep}}}$ ein separabler Abschluss von ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle G_{K}={\text{Gal}}(K^{\text{sep}}/K)}$ die absolute Galois-Gruppe von ${\displaystyle K.}$ Sei ${\displaystyle W_{n}}$ die Gruppe der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle F}$ der Frobeniushomomorphismus

${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n-1})\mapsto (x_{0}^{p},\dots ,x_{n-1}^{p}).}$

Mit

${\displaystyle \wp :W_{n}(K^{\text{sep}})\to W_{n}(K^{\text{sep}}),\ \ x\mapsto F(x)-x}$

ist

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to W_{n}(K^{\text{sep}}){\stackrel {\wp }{\longrightarrow }}W_{n}(K^{\text{sep}})\to 0}$

eine exakte Sequenz von ${\displaystyle G_{K}}$-Moduln, wobei ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \cong W_{n}(\mathbb {F} _{p})}$ verwendet wurde. Die Galois-Kohomologie ${\displaystyle H^{1}(G_{K},W_{n})}$ verschwindet, weil die Quotienten bezüglich der ${\displaystyle V}$-Filtrierung isomorph zu ${\displaystyle K^{\text{sep}}}$ sind und ${\displaystyle H^{1}(G_{K},K^{\text{sep}})=0}$ gilt (siehe oben). Also ist ${\displaystyle H^{1}(G_{K},\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} )\cong W_{n}(K)/\wp W_{n}(K),}$ und wie oben erhält man daraus eine Korrespondenz zwischen abelschen Erweiterungen, deren Exponent ein Teiler von ${\displaystyle p^{n}}$ ist, und Untergruppen von ${\displaystyle W_{n}(K)/\wp W_{n}(K).}$^[8]

Sei ${\displaystyle K\cong \mathbb {F} _{q}((T))}$ ein lokaler Körper (formale Laurentreihen). Zu einem Wittvektor ${\displaystyle a\in W_{n}(K)}$ und einem Körperelement ${\displaystyle b\in K^{*}}$ definiert Witt eine zentrale einfache Algebra ${\displaystyle A_{[a,b)},}$ die von ${\displaystyle u}$ und den kommutierenden Elementen ${\displaystyle v_{0},\dots ,v_{n-1}}$ mit den Relationen

${\displaystyle u^{p^{n}}=b,\ \wp (v)=a,\ v^{u}=v+1}$

erzeugt wird. Dabei wird mit ${\displaystyle v=(v_{0},\dots ,v_{n-1})}$ als einem Wittvektor gerechnet, und ${\displaystyle v^{u}}$ steht für den Wittvektor ${\displaystyle (uv_{0}u^{-1},\dots ,uv_{n-1}u^{-1}).}$ Sei ${\displaystyle \omega \in W_{n}(K^{\text{sep}})}$ mit ${\displaystyle \wp (\omega )=a}$ und ${\displaystyle L=K(\omega )=K(\omega _{0},\dots ,\omega _{n-1}),}$ außerdem ${\displaystyle ({-},L/K)}$ die Reziprozitätsabbildung. Das Artin-Schreier-Witt-Symbol ist definiert als

${\displaystyle [a,b)=(b,L/K)(\omega )-\omega \in W_{n}(\mathbb {F} _{p})\cong {\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} /\mathbb {Z} ;}$

es ist eine nichtausgeartete bilineare Paarung

${\displaystyle W_{n}(K)/\wp W_{n}(K)\times K^{*}/(K^{*})^{p^{n}}\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .}$

Es ist ${\displaystyle [a,b)=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle b\in N_{L/K}(K^{*})}$ gilt. Der Wert des Symbols ist gleich der Invariante der zentralen einfachen Algebra: ${\displaystyle [a,b)={\text{inv}}(A_{[a,b)}).}$ Witt gibt auch eine Beschreibung der Invariante als ein auf Wittvektoren von Laurentreihen fortgesetztes Residuum.^[9]

Literatur

• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66671-0, Kap. VI §1. 
• Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631. 
• J.-P. Serre: Local Fields. Springer, Berlin 1979, ISBN 3-540-90424-7. 

Fußnoten

1. Die Originalarbeit ist: Emil Artin, Otto Schreier: Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper. In: Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Band 5, Nr. 1, 1927, S. 225–231, doi:10.1007/BF02952522. 
2. Roquette 2001, Kap. 7.2. Die Originalarbeit ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51. 
3. Formel erstmals angegeben von Hermann Ludwig Schmid, siehe Roquette 2001, Kap. 7.1. Die Originalarbeit ist: Hermann Ludwig Schmid: Über das Reziprozitätsgesetz in relativ-zyklischen algebraischen Funktionenkörpern mit endlichem Konstantenkörper. In: Mathematische Zeitschrift. Band 40, 1935, S. 91–109. 
4. Serre 1979, XIV §6
5. André Weil: Basic Number Theory. 3. Auflage. Springer, New York 1974, ISBN 0-387-06935-6, Kap. XIII §7.  Shokichi Iyanaga: The Theory of Numbers. North-Holland, Amsterdam 1975, ISBN 0-444-10678-2, Kap. V §4. 
6. Reinhardt Kiehl, Rainer Weissauer: Weil Conjectures, Perverse Sheaves and l-adic Fourier Transform. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-41457-6. 
7. Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pⁿ. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: J. Reine Angew. Math. Band 176, 1936, S. 126–140. 
8. Nathan Jacobson: Basic Algebra II. W. H. Freeman and Company, San Francisco 1980, ISBN 0-7167-1079-X, Kap. 8.11.  Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-33942-6, Kap. IX §1 Ex. 19-21. 
9. Siehe auch: Lara Thomas: Ramification groups in Artin-Schreier-Witt extensions. In: Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. Band 17, Nr. 2, 2005, S. 689–720 (online).