In der Mathematik werden Cluster-Algebren unter anderem in Darstellungstheorie, niedrig-dimensionaler Topologie und höherer Teichmüller-Theorie verwendet. Cluster-Algebren sind Unteralgebren von , gegeben durch Erzeuger, die in n-elementigen "Clustern" zusammengefasst sind mit durch schiefsymmetrische-Austausch-Matrizen gegebenen Übergangsregeln (sog. Mutationen) zwischen Clustern.
Eine Cluster-Algebra entsteht aus einem Cluster durch iterierte Anwendung aller möglichen Mutationen . Die Cluster-Algebra heißt von endlichem Typ, wenn es nur endlich viele Cluster gibt.
Einer triangulierten orientierten Fläche ordnet man eine Cluster-Algebra zu wie folgt:
die Variablen sind die Kanten der Triangulierung,
, falls die i-te und j-te Kante innerhalb eines Dreiecks im Uhrzeigersinn aufeinander folgen,
, falls die j-te und i-te Kante innerhalb eines Dreiecks im Uhrzeigersinn aufeinander folgen,
sonst.
Allgemeiner kann man Cluster-Algebren auch zu in (möglicherweise degenerierte) Dreiecke zerlegten Flächen assoziieren (siehe die Arbeiten von Fomin-Shapiro-Thurston), die so erhaltenen Cluster-Algebren heißen Cluster-Algebren topologischen Ursprungs.
Die Mutationen sind in diesem Fall gegeben durch Flips der Kanten der Triangulierung, d. h. zu einer Kante betrachtet man das von den beiden adjazenten Dreiecken aufgespannte Viereck und ersetzt die Kante dann durch die andere Diagonale dieses Vierecks.
Fomin und Zelevinsky bewiesen, dass es eine Bijektion zwischen Cluster-Algebren endlichen Typs und Cartan-Matrizen endlichen Typs gibt. Cluster-Algebren endlichen Typs werden also durch Dynkin-Diagramme klassifiziert. Die Cartan-Matrizen lassen sich aus den Austausch-Matrizen berechnen.
Felikson, Shapiro und Tumarkin bewiesen, dass Cluster-Algebren mutations-endlichen Typs entweder Cluster-Algebren topologischen Ursprungs sind oder äquivalent zu einer von 11 Ausnahme-Algebren. Mutations-Endlichkeit ist allgemeiner als von endlichem Typ.
Fomin, Sergey: Total positivity and cluster algebras. (PDF; 332 kB) Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume II, 125–145, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010.
Leclerc, Bernard Cluster algebras and representation theory. (PDF; 257 kB) Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume IV, 2471–2488, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010