Corona-Theorem

In der Mathematik ist das Corona-Theorem ein Satz aus der Funktionentheorie.

Satz

Sei ${\displaystyle H^{\infty }}$ der Hardy-Raum, also die Banach-Algebra der beschränkten, holomorphen Funktionen

${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }$

auf der Kreisscheibe ${\displaystyle D:=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \vert z\vert <1\right\}}$.

Sei ${\displaystyle \delta >0}$ und seien ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in H^{\infty }}$, so dass

${\displaystyle \vert f_{1}(z)\vert +\ldots +\vert f_{n}(z)\vert \geq \delta }$

für alle ${\displaystyle z\in D}$.

Dann gibt es ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}\in H^{\infty }}$, so dass

${\displaystyle f_{1}(z)g_{1}(z)+\ldots +f_{n}(z)g_{n}(z)=1}$

für alle ${\displaystyle z\in D}$.

Funktionalanalytische Interpretation

Sei ${\displaystyle \Delta }$ die Menge der multiplikativen linearen Funktionale auf ${\displaystyle H^{\infty }}$ und ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ die Menge der Maximalideale des Hardy-Raums ${\displaystyle H^{\infty }}$. Durch ${\displaystyle \phi \to \ker(\phi )}$ hat man eine Bijektion ${\displaystyle \Delta \to {\mathcal {M}}}$.

Jedem ${\displaystyle f\in H^{\infty }}$ kann man durch ${\displaystyle {\hat {f}}(\phi ):=\phi (f)}$ eine Funktion ${\displaystyle {\hat {f}}\colon \Delta \to \mathbb {C} }$ oder vermittels obiger Bijektion dann eine Funktion

${\displaystyle {\hat {f}}\colon {\mathcal {M}}\to \mathbb {C} }$

zuordnen. Als Gelfand-Topologie bezeichnet man die schwächste Topologie auf ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, mit der alle ${\displaystyle {\hat {f}}}$ stetig sind. Mit dieser Topologie ist ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ein kompakter Hausdorff-Raum.

Man kann ${\displaystyle D}$ als Unterraum von ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ auffassen, indem man ${\displaystyle z\in D}$ das Maximalideal

${\displaystyle M_{z}=\left\{f\in H^{\infty }\colon f(z)=0\right\}}$

zuordnet.

Das Corona-Theorem ist dann äquivalent dazu, dass ${\displaystyle D}$ dicht in ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ist.

Geschichte

Das Corona-Theorem in seiner funktionalanalytischen Formulierung wurde 1941 von Shizuo Kakutani vermutet und 1962 von Lennart Carleson bewiesen. Der Name bezieht sich darauf, dass die Corona von ${\displaystyle H^{\infty }(D)}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{H^{\infty }(D)}\setminus {\overline {D}}}$ definiert wird und es nach dem Theorem also keine Corona gibt. Einen elementaren Beweis gab 1979 Thomas Wolff unter Benutzung von ${\displaystyle H^{2}}$-Carleson-Maßen und Littlewood-Paley-Theorie.

Weblinks

• Corona-Theorem (Lexikon der Mathematik, Spektrum der Wissenschaft)
• B. Wick: The Corona Problem