Gauß-Abbildung

In der Differentialgeometrie bildet die Gauß-Abbildung (benannt nach Carl F. Gauß) eine Fläche im euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ auf die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2}}$ ab.

Gauß schrieb erstmals im Jahr 1825 über das Thema und veröffentlichte es 1827.

Definition

Die Gauß-Abbildung verschiebt die Einheitsnormalen eines Flächenstücks an den festen Ursprung des umgebenden Raums.

Auf einer gegebenen orientierten Fläche ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ist die Gauß-Abbildung eine stetige Abbildung ${\displaystyle N\colon X\to S^{2}}$, so dass ${\displaystyle N(p)}$ ein zur Fläche ${\displaystyle X}$ orthonormaler Einheitsvektor bei ${\displaystyle p\in X}$, nämlich der Normalenvektor an ${\displaystyle X}$ bei ${\displaystyle p}$, ist.

Eigenschaften

Die Gauß-Abbildung kann global, also für alle ${\displaystyle p\in X}$, nur genau dann definiert werden, wenn die Fläche orientierbar ist. Lokal, das heißt auf einem kleinen Stück der Oberfläche, kann sie immer definiert werden. Die Funktionaldeterminante der Gauß-Abbildung ist gleich der Gauß-Krümmung, und das Differential der Gauß-Abbildung wird Weingartenabbildung oder auch Form-Operator genannt.

Verallgemeinerung

Analog zu obiger Definition kann die Gauß-Abbildung für n-dimensionale orientierte Hyperflächen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ definiert werden.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Gauss Map. In: MathWorld (englisch).

Quellen

• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8, S. 129.