Gaußsche isoperimetrische Ungleichung

Die gaußsche isoperimetrische Ungleichung ist in der Stochastik die isoperimetrische Ungleichung für den euklidischen Raum ausgestattet mit dem gaußschen Maß. Die Ungleichung sagt, dass unter allen Borel-Mengen im euklidischen Raum, die Halbräume das minimale gaußsche Oberflächenmaß besitzen.

Sie wurde von 1975 (^[1]) von Christer Borell und unabhängig davon 1974 (^[2]) von Wladimir Sudakow und Boris Tsirelson bewiesen.

Aussage

Sei

• ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}),\gamma ^{n};d)}$ ein gaußscher Raum, der zusätzlich mit der euklidischen Metrik ${\displaystyle d}$ ausgestattet ist, wobei ${\displaystyle \gamma ^{n}(dx)=(2\pi )^{-n/2}e^{-\|x\|^{2}/2}d^{n}x}$ das kanonische ${\displaystyle n}$-dimensionale gaußsche Maß ist.
• ${\displaystyle \Phi (x)=\gamma ^{1}([-\infty ,t])}$ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung,
• ${\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon \langle x,u\rangle <\lambda ,u\in \mathbb {R} ^{n},\lambda \in [-\infty ,+\infty ]\}}$ ein Halbraum, der mit demselben gaußschen Maß ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ ausgestattet ist,
• ${\displaystyle A}$ eine Borel-Menge in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,
• ${\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,a);a\in A\}}$ die kleinste Distanz zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle A_{r}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon d(x,A)<r\}}$ ist die geschlossene euklidische Nachbarschaft der Menge ${\displaystyle A}$ mit Radius ${\displaystyle r}$. Analog die gleiche Definition für ${\displaystyle H_{r}}$. Beachte, ${\displaystyle H_{r}}$ ist ein weiterer Halbraum.

Sei nun ${\displaystyle \gamma ^{n}(H)=\gamma ^{n}(A)}$. Dann gilt für alle ${\displaystyle r>0}$, dass ${\displaystyle H_{r}}$ das kleinste gaußsche Maß besitzt, das bedeutet

${\displaystyle \gamma ^{n}(A_{r})\geq \gamma ^{n}(H_{r}).}$

Als Konsequenz folgt daraus

${\displaystyle \Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A_{r}))\geq \Phi ^{-1}(\gamma ^{n}(A))+r.}$

Außerdem, falls ${\displaystyle \gamma ^{n}(A)\geq 1/2}$ gilt, dann ist zusätzlich

${\displaystyle 1-\gamma ^{n}(A_{r})\leq 1-\Phi (r)\leq {\tfrac {1}{2}}\exp(-r^{2}/2).}$^[3]

Verallgemeinerungen

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, darunter die Bobkow-Ungleichung und die Ehrhard-Ungleichung.

Einzelnachweise

1. Christer Borell: The Brunn-Minkowski Inequality in Gauss Space. In: Inventiones Mathematicae. Band 30, Nr. 2, 1975, S. 207–216, doi:10.1007/BF01425510 (eudml.org). 
2. Wladimir N. Sudakow und Boris Tsirelson: Extremal properties of half-spaces for spherically invariant measures. In: Journal of Soviet Mathematics. Band 9, 1978, S. 9–18, doi:10.1007/BF01086099. 
3. M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11. 

Literatur

• D. W. Stroock: Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2023. 
• M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11. 
• Michail Anatoljewitsch Lifschitz: Lectures on Gaussian Processes. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 2012.