Gelfand-Tripel

Das Gelfand-Tripel (auch Gelfandscher Dreier, Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel ${\displaystyle (V,H,V^{*}),}$ bestehend aus einem Hilbert-Raum ${\displaystyle H}$, einem topologischen Vektorraum ${\displaystyle V}$ (zum Beispiel ein Banach-Raum) und seinem Dualraum ${\displaystyle V^{*}}$. Der Raum ${\displaystyle V}$ wird so gewählt, dass ${\displaystyle V}$ ein dicht liegender Unterraum von ${\displaystyle H}$ ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus ${\displaystyle H}$ mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes ${\displaystyle V^{*}}$ identifizieren lassen.

Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.

Definition

Sei ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ ein separabler Hilbert-Raum und ${\displaystyle V\subset H}$ ein darin dicht liegender topologischer Vektorraum und die Inklusion ${\displaystyle i_{1}:V\hookrightarrow H}$ sei stetig. ${\displaystyle H^{*}}$ und ${\displaystyle V^{*}}$ bezeichnen die dazugehörigen Dualräume.

Dann gilt die dichte Inklusion

${\displaystyle V\subset H\subset V^{*},}$

in dem wir ${\displaystyle H}$ mit ${\displaystyle H^{*}}$ über die Fréchet-Riesz-Darstellung identifizieren. Daraus folgt, dass die Abbildung ${\displaystyle i_{2}:H^{*}\to V^{*}}$ stetig ist. Das Tripel ${\displaystyle (V,H,V^{*})}$ nennt man Gelfand-Tripel.

Herleitung im Fall wenn V ein reflexiver Banach-Raum ist

Sei ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H})}$ ein separabler Hilbert-Raum, ${\displaystyle V\subset H}$ ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion ${\displaystyle i_{1}:V\hookrightarrow H}$ sei stetig. Die Separabilität von ${\displaystyle H}$ garantiert uns die Existenz eines in ${\displaystyle H}$ dicht liegenden Unterraumes.

Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt

${\displaystyle V\subset H\subset V^{*},}$

in dem wir ${\displaystyle H}$ mit ${\displaystyle H^{*}}$ identifizieren.

Es gilt nun für alle ${\displaystyle h\in H,v\in V}$

${\displaystyle \langle h,v\rangle _{H}={}_{V^{*}}\langle h,v\rangle _{V}}$

wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel ${\displaystyle (V,H,V^{*})}$ ist ein Gelfand-Tripel.^[1]

Herleitung der Inklusion

Es lässt sich zeigen, dass auch ${\displaystyle H^{*}\subset V^{*}}$ dicht liegt und die Inklusion ${\displaystyle i_{2}:H^{*}\hookrightarrow V^{*}}$ stetig ist (folgt direkt aus der Reflexivität von ${\displaystyle V}$). Für ein ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ und ${\displaystyle x\in H}$ definieren wir die duale Paarung

${\displaystyle {}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}:=\varphi (x).}$

Für jedes ${\displaystyle \varphi \in H^{*}}$ existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung ${\displaystyle h_{\varphi }\in H}$, so dass

${\displaystyle {}_{H^{*}}\langle \varphi ,x\rangle _{H}=\langle x,h_{\varphi }\rangle _{H}}$

für alle ${\displaystyle x\in H}$ gilt. Deshalb können wir ${\displaystyle H^{*}}$ mit ${\displaystyle H}$ identifizieren ${\displaystyle H\cong H^{*}}$ und daraus folgt die Inklusion

${\displaystyle V\subset H\subset V^{*}}$

und auch ${\displaystyle i_{3}:H\hookrightarrow V^{*}}$ ist stetig.

Beispiele und Anwendungen

• Sei ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ein Lp-Raum, ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ der Schwartz-Raum und ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel ${\displaystyle ({\mathcal {S}},L^{2},{\mathcal {S}}')}$ ein Gelfand-Tripel.
• Seien ${\displaystyle \ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty }}$ die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel ${\displaystyle (\ell ^{1},\ell ^{2},\ell ^{\infty })}$ ein Gelfand-Tripel.
• Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ offen, ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ ein Lp-Raum. Mit ${\displaystyle H_{0}^{1,p}(\Omega )}$ für ${\displaystyle p\in [2,\infty )}$ wird der (beschränkte) Sobolew-Raum ${\displaystyle H_{0}^{1,p}(\Omega )={\overline {C_{c}^{\infty }(\Omega )}}}$ und mit ${\displaystyle H^{-1,p}:=(H_{0}^{1,p}(\Omega ))^{*}}$ sein Dualraum bezeichnet. Dann ist ${\displaystyle (H_{0}^{1,p},L^{2},H^{-1,p})}$ ein Gelfand-Tripel.^[1]
• In der White-Noise-Analysis: sei ${\displaystyle S_{1}}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen, ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ der Raum des weißen Rauschen, ${\displaystyle S_{-1}}$ der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist ${\displaystyle (S_{1},{\mathcal {W}},S_{-1})}$ ein Gelfand-Tripel.

Anwendungen

Sei ${\displaystyle (H_{0}^{1,p},L^{2},H^{-1,p})}$ das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta \colon C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ist nicht stetig. Sei ${\displaystyle A=\Delta }$ die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit ${\displaystyle A\colon H_{0}^{1,p}\to H^{-1,p}}$, dann ist ${\displaystyle A}$ stetig.

Negative Norm

Ein Gelfandscher Dreier ${\displaystyle (V,H,V^{*})}$ erlaubt die Konstruktion einer sogenannten negativen Norm. Die negative Norm eines Elementes ${\displaystyle y\in H}$ wird durch

${\displaystyle \|y\|_{-1}:=\sup _{x\in V}{\frac {|\langle x,y\rangle _{H}|}{\|x\|_{V}}}}$

definiert und wir notieren den Dualraum ausgestattet mit dieser Norm als ${\displaystyle V^{-1}}$.

Es lässt sich folgende Ungleichung für ${\displaystyle y\in V}$ herleiten

${\displaystyle \|y\|_{-1}\leq K\|y\|_{H}\leq C\|y\|_{V}}$

für feste Konstanten ${\displaystyle K,C>0}$.

Literatur

• Hans G. Feichtinger: Banach Gelfand Triples for Applications in Physics and Engineering. In: AIP Conference Proceedings. Band 1146, 2009, doi:10.1063/1.3183542. 
• Israel M. Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions: Some Applications of Harmonic Analysis. Rigged Hilbert Spaces. Hrsg.: Academic Press, New York. 1964. 
• Monika Dörfler, Hans G. Feichtinger, Karlheinz Gröchenig: Time-Frequency Partitions for Gelfand Triple (S0,L2,S0'). In: Mathematica Scandinavica. Band 98, Nr. 1, 2006, S. 81–96, JSTOR:24493549. 

Einzelnachweise

1. Claudia Prévôt, Michael Röckner: A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. In: Springer Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. 2007, S. 55–73, doi:10.1007/978-3-540-70781-3 (englisch).