Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.^[1]

Definition

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße ${\displaystyle X}$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter ${\displaystyle \beta >0}$ und Lageparameter ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\beta }}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R} }$

und damit die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R} }$

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter ${\displaystyle \mu =0}$ und ${\displaystyle \beta =1}$ gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.^[2] Damit ergibt sich die Dichte

${\displaystyle f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R} }$

und die Verteilungsfunktion

${\displaystyle F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R} }$

Durch die affin-linearen Transformationen ${\displaystyle X\mapsto Y:=\mu +\beta X}$ mit ${\displaystyle \beta >0}$ erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

• ${\displaystyle F_{Y}(x)=F\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)}$,
• ${\displaystyle f_{Y}(x)={\frac {1}{\beta }}f\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)}$,
• ${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\mu +\beta \operatorname {E} (X)}$ und
• ${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\beta ^{2}\operatorname {Var} (X).}$

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\mu +\beta \gamma }$.

Dabei ist ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}5772}$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(\pi \beta )^{2}}{6}}}$.

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

${\displaystyle \sigma ={\frac {\pi \beta }{\sqrt {6}}}}$.

Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

• Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
• Verkehrsplanung
• Meteorologie (Wettervorhersage)

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern ${\displaystyle \mu =0}$ und ${\displaystyle \beta =1}$ ist eine Extremwertverteilung vom Typ I^[1] und ergibt sich als Spezialfall für ${\displaystyle \xi =0,\mu =0,\sigma =0}$ aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld

Einzelnachweise

1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Exponentialverteilung, doppelte, S. 111-112. 
2. Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin / Boston 2015, ISBN 978-3-11-035969-5, S. 166, doi:10.1515/9783110359701.