Hadamard-Ungleichung

In der Mathematik beschreibt die Hadamard-Ungleichung eine Abschätzung für die Determinante (eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird) in einer quadratischen Matrix. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Jacques Salomon Hadamard.

Klassische Hadamard-Ungleichung

Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix über den komplexen Zahlen mit den Spaltenvektoren ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$, dann gilt mit der Euklidischen Norm ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

${\displaystyle |\det M|\,\leq \,\prod _{i=1}^{n}\|m_{i}\|_{2}.}$

Mit der QR-Zerlegung ${\displaystyle M=QR}$ der Matrix ${\displaystyle M}$ gilt nämlich

${\displaystyle |\det M|=|\det Q|\cdot |\det R|=|\det R|\leq \|r_{1}\|_{2}\cdot \ldots \cdot \|r_{n}\|_{2},}$

wobei ${\displaystyle \|r_{i}\|_{2}=\|Qr_{i}\|_{2}=\|m_{i}\|_{2}}$ ist.

Geometrische Anschauung

Ist ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix mit reellen Einträgen, so ist ${\displaystyle |\det(M)|}$ das Volumen des von ihren Zeilen- oder Spaltenvektoren ${\displaystyle m_{i}}$ aufgespannten ${\displaystyle n}$-dimensionalen Parallelepipeds. Dieses Volumen wird maximal für orthogonale Zeilen (bzw. Spalten) und ist folglich höchstens so groß wie das Volumen ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\|m_{i}\|_{2}}$ des ${\displaystyle n}$-dimensionalen Quaders mit Kanten der Längen ${\displaystyle \|m_{i}\|_{2}}$.

Abgeschwächte Hadamard-Ungleichung

Sei ${\displaystyle (R,|\cdot |)}$ ein kommutativer Ring mit Pseudobetrag und ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrix über ${\displaystyle R}$ mit den Zeilenvektoren ${\displaystyle m_{1},\dots ,m_{n}}$. Dann gilt

${\displaystyle |\det M|\,\leq \,\prod _{i=1}^{n}\|m_{i}\|_{1}}$

mit der 1-Pseudonorm.

Bemerkungen

• Die klassische Hadamard-Ungleichung liefert wegen ${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}}$ die schärfere Abschätzung.
• Liegt ein Ring ${\displaystyle R\subseteq \mathbb {C} }$ mit der üblichen Betragsfunktion der komplexen Zahlen zu Grunde (Beispiel: die ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$), so ist stets die schärfere klassische Hadamard-Ungleichung anwendbar.

Literatur

• Roger A. Horn: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 477 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).