Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jacob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

${\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}$

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}$

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten ${\displaystyle q'}$, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten ${\displaystyle p'}$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}$

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden ${\displaystyle S}$. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion ${\displaystyle S(q,p',t)}$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten ${\displaystyle q}$ und den neuen (konstanten) Impulsen ${\displaystyle p'}$ abhängt, so dass

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}$

Eingesetzt in ${\displaystyle {\tilde {H}}=0}$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen ${\displaystyle q_{k}}$ und ${\displaystyle t}$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion ${\displaystyle S}$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).

Herleitung der Hamilton-Jacobi-Gleichung aus dem Wirkungsintegral

Zur konkreten Herleitung dieser Differentialgleichung betrachtet man das Wirkungsfunktional

${\displaystyle S[q](t)=\int _{0}^{t}L(s,q(s),{\dot {q}}(s))\mathrm {d} s}$

mit der Lagrange-Funktion ${\displaystyle L}$. Die totale Zeitableitung hiervon gibt die Lagrange-Funktion zurück, d.h.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L}$.

Sieht man ${\displaystyle S}$ jedoch als Funktion der Koordinaten ${\displaystyle q}$ und ${\displaystyle t}$ an, so ergibt sich für das totale Zeit-Differential

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\frac {\mathrm {d} q_{k}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}{\dot {q_{k}}}}$.

Die partielle Koordinatenableitung ergibt zusammen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}=\int _{0}^{t}{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\mathrm {d} s=\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\mathrm {d} s={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}=p_{k}}$

mit den kanonischen Impulsen ${\displaystyle p_{k}}$. Durch Vergleich der totalen Zeitableitungen von ${\displaystyle S}$ erhält man somit

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=L={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum p_{k}{\dot {q_{k}}}}$,

woraus nach der Definition der Hamilton-Funktion die behauptete Gleichung sofort folgt.

Hamilton-Jacobi-Formalismus für nicht explizit zeitabhängige Hamilton-Funktion

Für konservative Systeme (d. h. ${\displaystyle H}$ nicht explizit zeitabhängig: ${\displaystyle H(q,p)\neq H(t)}$) wird zur ursprünglichen Hamilton-Funktion, die von den alten Impulsen und Orten abhängt, eine erzeugende Funktion ${\displaystyle S(q,p')}$ konstruiert, die sie in eine neue Hamilton-Funktion transformiert, welche nur noch von den neuen (konstanten) Impulsen abhängt

${\displaystyle H(q,p)\Rightarrow {\tilde {H}}(p')}$

Dabei sind die neuen Impulse Konstanten der Bewegung:

${\displaystyle {\dot {p}}'=-{\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial q'}}=0\Leftrightarrow p'=\mathrm {const} ,}$

die neuen Orte ändern sich nur linear mit der Zeit:

${\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}=C\Leftrightarrow q'=Ct+b}$ mit ${\displaystyle C,b=\mathrm {const} .}$

Für ${\displaystyle S(q,p')}$ muss gelten

${\displaystyle p={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}},}$

${\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}$

Eingesetzt in die Hamilton-Funktion ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für ${\displaystyle S(q,p')}$ für konservative Systeme:

${\displaystyle H(q,p)\Rightarrow H\left(q,{\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)={\tilde {H}}(p').}$

Zur Veranschaulichung von ${\displaystyle S}$ wird die totale Ableitung nach der Zeit berechnet

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\,S(q,p')&={\frac {\partial S}{\partial q}}{\dot {q}}+{\frac {\partial S}{\partial p'}}{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}+q'{\dot {p}}'\\&=p{\dot {q}}\quad \quad \quad \mathrm {wegen} \;{\dot {p}}'=0.\end{aligned}}}$

Benutzt man nun die lagrangeschen Bewegungsgleichungen (mit Lagrangefunktion ${\displaystyle L=T-V}$, wobei ${\displaystyle T}$ die kinetische Energie ist, ${\displaystyle V(q)}$ das Potential):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}S(q,p')={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {q}}=2T}$.

Die zeitliche Integration liefert

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}2T\ \mathrm {d} t=W,}$

also ist ${\displaystyle S(q,p')}$ mit dem Wirkungsintegral identisch.

Beispiel: Der eindimensionale harmonische Oszillator

Sei ${\displaystyle U=U(q)}$ ein beliebiges Potential. Die Hamilton-Funktion lautet

${\displaystyle H(p,q)={\frac {p^{2}}{2m}}+U(q),}$

die Hamilton-Jacobi-Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+U(q)={\tilde {H}}=E.}$

Beim eindimensionalen Oszillator ist ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ die einzige Konstante der Bewegung. Da ${\displaystyle p'}$ ebenfalls konstant sein muss, setzt man ${\displaystyle p'={\tilde {H}}=E}$, was für alle konservativen Systeme möglich ist.

${\displaystyle \left({\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}\right)^{2}+2mU(q)=2mp'}$

Durch Integrieren folgt

${\displaystyle S(q,p')={\sqrt {2m}}\int _{q_{0}}^{q}{\sqrt {(p'-U({\tilde {q}}))}}\,\mathrm {d} {\tilde {q}},}$

mit ${\displaystyle q'={\frac {\partial S(q,p')}{\partial p'}}}$

${\displaystyle q'={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {p'-U({\tilde {q}})}}}.}$

Wegen der Hamiltonschen Bewegungsgleichung gilt außerdem

${\displaystyle {\dot {q}}'={\frac {\partial {\tilde {H}}(p')}{\partial p'}}={\frac {\partial E}{\partial p'}}={\frac {\partial p'}{\partial p'}}=1,}$

${\displaystyle \Rightarrow q'=t-{t_{0}}.}$

Um die Bewegung in ${\displaystyle p(t)}$ und ${\displaystyle q(t)}$ darstellen zu können, muss zu den alten Koordinaten zurücktransformiert werden

${\displaystyle p(t)={\frac {\partial S(q,p')}{\partial q}}={\sqrt {2m(p'-U(q))}},}$

${\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-U({\tilde {q}})}}}.}$

Für den Spezialfall des harmonischen Oszillators ergibt sich mit ${\displaystyle U(q)={\frac {1}{2}}aq^{2}}$

${\displaystyle p(t)={\sqrt {2m\left(E-{\frac {1}{2}}aq^{2}\right)}},}$

${\displaystyle q'=t-{t_{0}}={\frac {m}{\sqrt {2m}}}\int _{q_{0}}^{q}{\frac {\mathrm {d} {\tilde {q}}}{\sqrt {E-{\frac {1}{2}}a{\tilde {q}}^{2}}}}.}$

Somit (für den Fall ${\displaystyle q_{0}=0}$)

${\displaystyle t-{t_{0}}={\sqrt {\frac {m}{a}}}\arcsin {\sqrt {\frac {a}{2E}}}q}$

und letztlich

${\displaystyle q(t)={\sqrt {\frac {2E}{a}}}\sin {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0})},}$

${\displaystyle p(t)={\sqrt {2mE}}\cos {\sqrt {\frac {a}{m}}}(t-{t_{0}}).}$

Literatur

• Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.