Harshad-Zahl

Eine Harshad-Zahl oder Niven-Zahl ist eine natürliche Zahl, die durch ihre Quersumme, das heißt die Summe ihrer Ziffern (im Dezimalsystem mit Basis 10), teilbar ist.

Der Begriff Harshad-Zahl wurde vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar eingeführt und ist vom Sanskrit-Wort harsha („Freude“) abgeleitet, während Niven-Zahl auf den Mathematiker Ivan M. Niven zurückgeht, der diese Zahlen auf einem Kongress im Jahre 1977 beschrieb.^[1]

Beispiele

777 ist durch seine Quersumme ${\displaystyle 7+7+7=21}$ teilbar und ist somit eine Harshad-Zahl: ${\displaystyle 777=21\cdot 37}$.

Die ersten Harshad-Zahlen (im Dezimalsystem) sind:

${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90,100,\ldots }$ (Folge A005349 in OEIS)

Die kleinsten ${\displaystyle k}$, sodass ${\displaystyle k\cdot n}$ eine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

${\displaystyle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,1,9,3,2,3,6,1,6,1,1,5,9,1,2,6,1,3,9,1,12,6,4,3,2,1,3,3,3,1,10,1,12,3,\ldots }$ (Folge A144261 in OEIS)

d. h.: ${\displaystyle {\underline {1}}\cdot 1=1,{\underline {1}}\cdot 2=2,\ldots ,{\underline {1}}\cdot 10=10,{\underline {10}}\cdot 11=110,{\underline {1}}\cdot 12=12,{\underline {9}}\cdot 13=117,\ldots }$ sind Harshad-Zahlen

Die kleinsten ${\displaystyle k}$, sodass ${\displaystyle k\cdot n}$ keine Harshad-Zahl ist, sind die folgenden:

${\displaystyle 11,7,5,4,3,11,2,2,11,13,1,8,1,1,1,1,1,161,1,8,5,1,1,4,1,1,7,1,1,13,1,1,1,1,1,83,1,1,1,4,\ldots }$ (Folge A144262 in OEIS)

d. h.: ${\displaystyle {\underline {11}}\cdot 1=11,{\underline {7}}\cdot 2=14,{\underline {5}}\cdot 3=15,{\underline {4}}\cdot 4=16,{\underline {3}}\cdot 5=15,{\underline {11}}\cdot 6=66,\ldots }$ sind keine Harshad-Zahlen

n-Harshad-Zahlen

Harshad-Zahlen nennt man auch n-Harshad-Zahlen (oder n-Niven-Zahlen), wenn man sie in der Basis n betrachtet.

Die ersten n-Harshad-Zahlen in der Basis 12 sind (wobei mangels weiterer Ziffern ${\displaystyle A}$ für 10 und ${\displaystyle B}$ für 11 steht):

${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,10,1A,20,29,30,38,40,47,50,56,60,65,70,74,80,83,90,92,A0,A1,B0,100,}$

${\displaystyle 10A,110,115,119,120,122,128,130,134,137,146,150,153,155,164,172,173,182,191,1A0,\ldots }$

Beispiel:

${\displaystyle 172}$ ist keine n-Harshad Zahl für die Basis 10:

${\displaystyle N=172}$ hat die Quersumme ${\displaystyle 1+7+2=10}$, es ist aber ${\displaystyle 10}$ kein Teiler von ${\displaystyle 172}$.

${\displaystyle 172_{12}}$ ist aber eine n-Harshad Zahl für die Basis 12:

${\displaystyle N=172_{12}}$ ist im Dezimalsystem die Zahl ${\displaystyle {\underline {1}}\cdot 12^{2}+{\underline {7}}\cdot 12^{1}+{\underline {2}}\cdot 12^{0}=230}$. Die Quersumme von ${\displaystyle N=172_{12}}$ ist ${\displaystyle 1+7+2=A_{12}}$ (im Dezimalsystem also ${\displaystyle 10}$). Es ist ${\displaystyle A_{12}}$ tatsächlich ein Teiler von ${\displaystyle N=172_{12}=A_{12}\cdot 1B_{12}}$ (im Dezimalsystem ${\displaystyle 230=10\cdot 23}$).

Die kleinsten ${\displaystyle k}$, sodass ${\displaystyle k\cdot n}$ eine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

${\displaystyle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12,6,4,3,10,2,11,3,4,1,7,1,12,6,4,3,11,2,11,3,1,5,9,1,12,11,4,3,11,2,11,1,4,4,11,1,16\ldots }$

Die kleinsten ${\displaystyle k}$, sodass ${\displaystyle k\cdot n}$ keine n-Harshad-Zahl zur Basis 12 ist, sind die folgenden (im Dezimalsystem geschrieben):

${\displaystyle 13,7,5,4,3,3,2,2,2,2,13,16,1,1,1,1,1,1,1,1,1,157,1,8,1,1,1,1,1,1,1,1,13,1,1,6,1,1,1,1,1,1,1,157,1,1,1,4\ldots }$

Eigenschaften

Das oben angegebene Beispiel mit der Zahl 777 lässt sich auf alle 3-stelligen natürlichen Zahlen desselben Typs verallgemeinern:

• Jede natürliche Zahl der Form ${\displaystyle nnn}$, wobei ${\displaystyle n}$ eine beliebige Ziffer von 1 bis 9 darstellen kann, ist im Dezimalsystem eine Harshad-Zahl (lässt sich also durch ihre Quersumme teilen).

Der Beweis ergibt sich aus folgender Überlegung:

${\displaystyle {\begin{aligned}nnn&=n\cdot 10^{2}+n\cdot 10^{1}+n\cdot 10^{0}\\&=n\cdot (100+10+1)\\&=n\cdot 111\\&=n\cdot (3\cdot 37)\\&=(n\cdot 3)\cdot 37\\\end{aligned}}}$

Nun ist aber die Quersumme von ${\displaystyle nnn\colon ~n+n+n=n\cdot 3}$.

Somit ist jede natürliche Zahl der Form ${\displaystyle nnn}$ das 37-fache ihrer Quersumme, also eine Harshad-Zahl. q. e. d.

• Alle ganzen Zahlen zwischen 0 und der Basis n sind n-Harshad-Zahlen.
• Im Dezimalsystem gibt es keine 21 aufeinander folgende Harshad-Zahlen.^[2][3]
• Im Dezimalsystem gibt es unendlich viele 20 aufeinander folgende Harshad-Zahlen. Die kleinste davon ist größer als ${\displaystyle 10^{44363342786}}$.^[4]

erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen

n	erstes Auftreten von n aufeinander folgenden Harshad-Zahlen (Folge A060159 in OEIS)[5]
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 12}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 20}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 110}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 510}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 131.052}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 12.751.220}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle 10.000.095}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 2.162.049.150}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle 124.324.220}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 11}$	${\displaystyle 920.067.411.130.599}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle 43.494.229.746.440.272.890}$
${\displaystyle 13}$	${\displaystyle 121.003.242.000.074.550.107.423.034\cdot 10^{20}-10}$
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle 420.142.032.871.116.091.607.294\cdot 10^{40}-4}$
${\displaystyle 15}$	unbekannt
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle 50.757.686.696.033.684.694.106.416.498.959.861.492\cdot 10^{280}-9}$
${\displaystyle 17}$	${\displaystyle 14.107.593.985.876.801.556.467.795.907.102.490.773.681\cdot 10^{280}-10}$
${\displaystyle 18}$	unbekannt
${\displaystyle 19}$	unbekannt
${\displaystyle 20}$	unbekannt

• Mit Basis n gibt es keine 2n+1 aufeinander folgende n-Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).^[3][6]
• Mit Basis n gibt es unendlich viele 2n aufeinander folgende Harshad-Zahlen (Verallgemeinerung der weiter oben stehenden Eigenschaft).^[3][6][7]
• Sei ${\displaystyle N(x)}$ die Anzahl der Harshad-Zahlen ${\displaystyle \leq x}$ und sei ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Dann gilt:^[8]

${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$

Beispiel:

Es gibt unter 100000 genau 11872 Harshad-Zahlen. Somit ist ${\displaystyle x=100000}$ und ${\displaystyle N(x)=11872}$. Und tatsächlich gilt ${\displaystyle x^{1-\varepsilon }=100000^{1-\varepsilon }\ll 100000^{1-0,185095}\approx N(x)=11872\ll 21223,7\approx {\frac {100000\cdot \log \log 100000}{\log 100000}}={\frac {x\log \log x}{\log x}}}$

Anzahl ${\displaystyle N(x)}$ der Harshad-Zahlen unter einer Zahl ${\displaystyle x}$^[8]

${\displaystyle x}$ Harshad-Zahlen ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle 33}$ ${\displaystyle 1000}$ ${\displaystyle 213}$

${\displaystyle x}$ Harshad-Zahlen ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle 10^{4}}$ ${\displaystyle 1538}$ ${\displaystyle 10^{5}}$ ${\displaystyle 11872}$ ${\displaystyle 10^{6}}$ ${\displaystyle 95428}$

${\displaystyle x}$ Harshad-Zahlen ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle 10^{7}}$ ${\displaystyle 806095}$ ${\displaystyle 10^{8}}$ ${\displaystyle 6954793}$ ${\displaystyle 10^{9}}$ ${\displaystyle 61574510}$

Nivenmorphe Zahlen

Eine nivenmorphe Zahl (oder harshadmorphe Zahl) für eine Basis n ist eine ganze Zahl t, so dass eine Harshad-Zahl N existiert, dessen Quersumme t ist, und t, geschrieben in dieser Basis n, die Zahl N in dieser Basis n beschreibt.

Beispiel 1:

${\displaystyle 18}$ ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 10:

${\displaystyle N=16218}$ ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=10). Die Quersumme von ${\displaystyle 16218}$ ist ${\displaystyle 1+6+2+1+8=18}$. Es ist ${\displaystyle 18}$ tatsächlich ein Teiler von ${\displaystyle 16218=18\cdot 901}$.

Beispiel 2:

${\displaystyle 18_{12}}$ ist eine nivenmorphe Zahl für die Basis 12:

${\displaystyle N=1A0_{12}}$ ist eine Harshad-Zahl (zur Basis n=12) und ist im Dezimalsystem die Zahl ${\displaystyle {\underline {1}}\cdot 12^{2}+{\underline {10}}\cdot 12^{1}+{\underline {0}}\cdot 12^{0}=264}$. Die Quersumme von ${\displaystyle N=1A0_{12}}$ ist ${\displaystyle 1+A+0=B_{12}}$ (im Dezimalsystem also 11). Es ist ${\displaystyle B_{12}}$ tatsächlich ein Teiler von ${\displaystyle N=1A0_{12}=B_{12}\cdot 20_{12}}$ (im Dezimalsystem ${\displaystyle 264=11\cdot 24}$).

Die nächste Liste gibt die jeweils kleinste Zahl (im Dezimalsystem) an, deren Quersumme n ist und die durch n teilbar ist (falls es keine solche Zahl gibt, wird 0 angegeben):

${\displaystyle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,910,0,912,11713,6314,915,3616,15317,918,17119,9920,18921,9922,82823,19824,9925,46826,18927,18928,}$

${\displaystyle 78329,99930,585931,388832,1098933,198934,289835,99936,99937,478838,198939,1999840,2988941,2979942,2979943,999944,999945,}$

${\displaystyle 4698946,4779947,2998848,2998849,9999950,\ldots }$ (Folge A187924 in OEIS)

Zum Beispiel hat ${\displaystyle 289835}$ die Quersumme ${\displaystyle 2+8+9+8+3+5=35}$ und tatsächlich ist ${\displaystyle 35}$ ein Teiler von ${\displaystyle 289835=35\cdot 8281}$. Somit ist ${\displaystyle 35}$ eine nivenmorphe Zahl zur Basis 10.

Eigenschaften:

• Alle positiven ganzen Zahlen mit Basis 10 sind nivenmorphe Zahlen, außer der Zahl 11.^[9]
• Alle positiven geraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n, außer n+1.
• Alle positiven ungeraden ganzen Zahlen mit Basis n>1 sind nivenmorphe Zahlen zur Basis n.

Multiple Harshad-Zahlen

Eine multiple Harshad-Zahl ist eine Harshad-Zahl, welche, durch seine Quersumme dividiert, wieder eine (andere) Harshad-Zahl ergibt.^[10]

Beispiel 1: ${\displaystyle 6804}$ ist eine multiple Harshad-Zahl, weil ${\displaystyle 6804/18=378}$, ${\displaystyle 378/18=21}$, ${\displaystyle 21/3=7}$ und ${\displaystyle 7/7=1}$ ebenfalls Harshad-Zahlen sind. Man bezeichnet diese Zahl ${\displaystyle 6804}$ auch als MHN-4, man kann also vier (verschiedene) weitere Harshad-Zahlen daraus machen.

Beispiel 2: ${\displaystyle 2016502858579884466176}$ ist eine MHN-12, man kann also 12 verschiedene weitere Harshad-Zahlen durch Division mit ihren jeweiligen Quersummen (die erste Quersumme ist ${\displaystyle 108}$) finden.

Beispiel 3: ${\displaystyle 10080000000000=1008\cdot 10^{10}}$ ist eine weitere, kleinere MHN-12.

Beispiel 4: ${\displaystyle 1008\cdot 10^{n}}$ ist eine MHN-(n+2).

Siehe auch

• Fröhliche Zahl
• Glückliche Zahl
• Selbstbeschreibende Zahl

Literatur

• Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 31, 2, 1993, S. 146–151
• Helen G. Grundmann: Sequences of consecutive Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 32, 2, (1994), 174–175
• Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. In: Fibonacci Quarterly, 35, 1997, S. 122–128
• Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. In: Fibonacci Quarterly, 41, 5, November 2003, S. 431–440
• Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon, I. Katái: On the counting function for the Niven numbers. In: Acta Arithmetica, 106, 2003, S. 265–275
• Sandro Boscaro: Nivenmorphic Integers. In: Journal of Recreational Mathematics, 28, 3, 1996–1997, S. 201–205
• E. Bloem: Harshad numbers. In: Journal of Recreational Mathematics, 34, 2, 2005, S. 128

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Harshad Number. In: MathWorld (englisch).
• József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. (PDF) Springer-Verlag, S. 381–383, abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch). 
• Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 146–151, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
• Helen G. Grundman: Sequences of consecutive n-Niven numbers. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 174–175, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
• Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 122–128, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
• Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. (PDF) Fibonacci Quarterly, S. 431–440, abgerufen am 30. Mai 2018 (englisch). 

Einzelnachweise

1. József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. (PDF) Springer-Verlag, S. 381 und 451, ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch).@1@2Vorlage:Toter Link/nozdr.ru (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven) 
2. Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 146–151, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
3. József Sándor, Borislav Crstici: Handbook of Number Theory II. (PDF) Springer-Verlag, S. 382, ehemals im Original (nicht mehr online verfügbar); abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch).@1@2Vorlage:Toter Link/nozdr.ru (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven) 
4. Curtis Cooper, Robert E. Kennedy: On consecutive Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 148, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
5. primepuzzles.net: Problems & Puzzles: Puzzle 129. Abgerufen am 30. Mai 2018 (englisch). 
6. Helen G. Grundman: Sequences of consecutive n-Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 174–175, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
7. Brad Wilson: Construction of 2n consecutive n-Niven numbers. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 122–128, abgerufen am 28. Mai 2018 (englisch). 
8. Jean-Marie DeKoninck, Nicolas Doyon: On the number of Niven numbers up to x. (PDF) In: Fibonacci Quarterly. S. 431–440, abgerufen am 30. Mai 2018 (englisch). 
9. Sandro Boscaro: Nivenmorphic integers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 28, Nr. 3, 1996, S. 201–205. 
10. E. Bloem: Harshad numbers. In: Journal of Recreational Mathematics. Band 34, Nr. 2, 2005, S. 128.