Hull-White-Modell

In der Finanzmathematik wird unter dem Hull-White-Modell ein spezielles Momentanzinsmodell zur Beschreibung von Zinsstrukturen verstanden. Es handelt sich um eine Erweiterung des Vasicek-Modell.

Das Modell wurde erstmals 1990 von den beiden Mathematikern John C. Hull und Alan White beschrieben.^[1]

Definition

Das Hull-White-Modell ist ein Momentanzinsmodell, welches den Momentanzins (engl. short rate) ${\displaystyle r(t)}$ modelliert. Es erfüllt in seiner allgemeinsten Fassung unter dem risikoneutralen Maß folgende stochastische Differentialgleichung:

${\displaystyle dr(t)=\left(\theta (t)-a(t)r(t)\right)dt+\sigma (t)\,dW(t),\quad r(0)=r_{0}\in \mathbb {R} }$

Dabei handelt es sich bei ${\displaystyle W(t)}$ um einen Wiener-Prozess und bei ${\displaystyle \theta (t),a(t)}$ und ${\displaystyle \sigma (t)}$ um zeitabhängige Konstanten.

Aufgrund von Schwierigkeiten bei der Kalibrierung der Parameter, hat sich in der Praxis die Fassung des Modells durchgesetzt, bei der ${\displaystyle a(t)=a}$ und ${\displaystyle \sigma (t)=\sigma }$ als zeitunabhängig vorausgesetzt werden^[2][3][4], sprich es gilt:

${\displaystyle dr(t)=\left(\theta (t)-ar(t)\right)dt+\sigma \,dW(t),\quad r(0)=r_{0}\in \mathbb {R} }$.

Die Parameter ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle \sigma }$ lassen sich hierbei als Rückstellkraft bzw. als Volatilität des Prozesses interpretieren. ${\displaystyle \theta (t)}$ kann mit diesem Ansatz so gewählt werden, dass die durch das Modell induzierte Zinsstrukturkurve zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=0}$ mit der am Markt beobachteten Zinsstrukturkurve übereinstimmt. Genauer gilt in diesem Fall

${\displaystyle \theta (t)={\frac {\partial f^{M}(0,t)}{\partial t}}+af^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a}}(1-e^{-2at})}$,

wobei ${\displaystyle f^{M}(0,t):=-{\frac {\partial \ln \left(P^{M}(0,t)\right)}{\partial t}}}$ die aktuell am Markt beobachtete instantaneous forward rate ist.

Eigenschaften

Lösung

Die oben angegebene stochastische Differentialgleichung kann mittels der Itō-Formel gelöst werden. Die Lösung mit Anpassung an den aktuellen Marktdaten lautet

${\displaystyle r(t)=\alpha (t)+\sigma \int _{0}^{t}e^{-a(t-u)}\,dW(u)}$,

wobei ${\displaystyle \alpha (t)=f^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}(1-e^{-at})^{2}}$.

Verteilung

${\displaystyle r(t)}$ ist normalverteilt mit Erwartungswert

${\displaystyle E\left[r(t)\right]=\alpha (t)=f^{M}(0,t)+{\frac {\sigma ^{2}}{2a^{2}}}(1-e^{-at})^{2}}$

und Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[r(t)\right]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}\left[1-e^{-2at}\right]}$.

Einzelnachweise

1. J. Hull and A. White (1990), Pricing Interest-Rate-Derivative Securities, Review of Financial Studies (3): S. 573–592. doi:10.1093/RFS/3.4.573.
2. John Hull and Alan White (1994), "Numerical procedures for implementing term structure models I," Journal of Derivatives: S. 7–16.
3. J. Hull and A. White (1995), A Note on the Models of Hull and White for Pricing Options on the Term Structure, The Journal of Fixed Income: S. 97–102. doi:10.3905/jfi.1995.408139
4. Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag: S. 72f.

Literatur

• Damiano Brigo, Fabio Mercurio (2001). Interest Rate Models – Theory and Practice with Smile, Inflation and Credit (2nd ed. 2006 ed.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.