Hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument

Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. Sie taucht häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen bei der Berechnung multivariater Integrale auf.

Eine Schwierigkeit beim Berechnen der Funktion besteht darin, dass man Jack-Polynome mit Parameter ${\displaystyle \alpha }$ berechnen muss. Häufig interessiert man sich für den Fall ${\displaystyle \alpha =2}$, welches die zonalen Polynome sind. Dies sind orthogonale Polynome und multivariate Verallgemeinerungen der Monome. Außerdem sind sie Eigenfunktionen eines Differentialoperators und Jack-Polynome mit einer C-Normalisierung. Es gibt unterschiedliche Definitionen und Berechnungsmöglichkeiten.

Auch wenn es sich bei der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument eigentlich um eine verallgemeinerte hypergeometrische Funktion handelt, so verzichtet man in der Literatur in der Regel auf den Zusatz verallgemeinert.

Definition

Sei

• ${\displaystyle \kappa =(k_{1},\dots ,k_{p})}$ eine Partition einer Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle k=k_{1}+\dots +k_{p}}$ und ${\displaystyle k_{1}\geq \cdots \geq k_{p}\geq 0}$ wobei ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} _{0}}$ .
• ${\displaystyle l(\kappa )}$ die Länge der Partition ${\displaystyle \kappa }$, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet ${\displaystyle l((2,1,0,0))=2}$),
• ${\displaystyle (a)_{\kappa }^{\alpha }}$ das verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.
• ${\displaystyle m,n\geq 0}$ nicht-negative ganze Zahlen.

Seien ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$ und ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ komplexe Zahlen und ${\displaystyle S}$ eine komplexe symmetrische Matrix mit Dimension ${\displaystyle r\times r}$. Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als

${\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}{k!}},}$

wobei ${\displaystyle \kappa \vdash k}$ die Summation über alle Partitionen von ${\displaystyle k}$ ist und ${\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)}$ das Jack-Polynom zum Parameter ${\displaystyle \alpha }$ von ${\displaystyle S}$ für ${\displaystyle \kappa }$ ist.^[1][2]

Erläuterungen

• ${\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S)}$ ist Skalar-wertig.
• In der Statistik und in der Stochastik interessiert man sich vor allem für den Fall ${\displaystyle \alpha =2}$, dann sind ${\displaystyle C_{\kappa }^{(2)}(S)}$ zonale Polynome respektive C-normalisierte Jack-Polynome.

Zweifaches Matrix-Argument

Analog definiert man die hypergeometrische Funktion für zwei symmetrische Matrizen ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$ mit Dimension ${\displaystyle r\times r}$

${\displaystyle {}_{m}F_{n}^{(\alpha )}(a_{1},\ldots ,a_{m};b_{1},\ldots ,b_{n};S,T)=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{\kappa \vdash k}{\frac {(a_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (a_{m})_{\kappa }^{\alpha }}{(b_{1})_{\kappa }^{\alpha }\cdots (b_{n})_{\kappa }^{\alpha }}}{\frac {1}{k!}}{\frac {C_{\kappa }^{(\alpha )}(S)C_{\kappa }^{(\alpha )}(T)}{C_{\kappa }^{(\alpha )}(I)}},}$

wobei ${\displaystyle I}$ die Identitätsmatrix der Dimension ${\displaystyle r\times r}$ ist.

Zonale Polynome

Sei ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle r\times r}$ symmetrische Matrix mit Eigenwerten ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{r}}$ und ${\displaystyle \kappa =(k_{1},\dots ,k_{r})}$ eine Partition von ${\displaystyle k}$, welche nicht aus mehr als ${\displaystyle r}$ Teilen besteht. Die zonalen Polynome ${\displaystyle C_{\kappa }^{(2)}(X)}$ sind die Eigenfunktionen des Differentialoperators

${\displaystyle \Delta _{X}=\sum \limits _{i=1}^{r}y_{i}^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{i}^{2}}}+\sum \limits _{i=1}^{r}\sum \limits _{\begin{array}{c}j=1\\i\neq j\end{array}}^{r}{\frac {y_{i}^{2}}{y_{i}-y_{j}}}{\frac {\partial }{\partial y_{i}}},}$

das heißt sie erfüllen die partielle Differentialgleichung

${\displaystyle \Delta _{X}C_{\kappa }^{(2)}(X)=\alpha C_{\kappa }^{(2)}(X)}$

mit

${\displaystyle \alpha =\sum \limits _{i=1}^{r}k_{i}(k_{i}-i)+k(r-1).}$^[3]

Literatur

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall/CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 
• Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258. 

Einzelnachweise

1. Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 258. 
2. Ioana Dumitriu, Alan Edelman und Gene Shuman: MOPS: Multivariate orthogonal polynomials (symbolically). In: Journal of Symbolic Computation. Band 42, Nr. 6, 2007, S. 603, doi:10.1016/j.jsc.2007.01.005. 
3. Robb J. Muirhead: Aspects of Multivariate Statistical Theory. Hrsg.: Wiley, Deutschland. 2009, S. 228.