Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. a. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das ${\displaystyle p}$-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent ${\displaystyle p}$ sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt ${\displaystyle H_{p}}$ wird auch ${\displaystyle M_{p}(x)}$, ${\displaystyle m_{p}(x)}$ oder ${\displaystyle \mu _{p}(x)}$ geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters ${\displaystyle p.}$

Definition

Für eine reelle Zahl ${\displaystyle p\neq 0}$ wird das Hölder-Mittel der Zahlen ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0}$ zur Stufe ${\displaystyle p}$ definiert als

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}={\sqrt[{p}]{\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\ldots +x_{n}^{p}}{n}}}}$,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen ${\displaystyle p}$ verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für ${\displaystyle p=0}$ ist

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\lim _{s\to 0}M_{s}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}$

Eigenschaften

• Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich ${\displaystyle x_{1}\ldots ,x_{n}}$, das heißt

${\displaystyle M_{p}(\alpha \,x_{1},\ldots ,\alpha \,x_{n})=\alpha \cdot M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• Außerdem gilt

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}(M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

• Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist

${\displaystyle p<q\quad \Rightarrow \quad M_{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte

${\displaystyle \min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq {\bar {x}}_{\mathrm {harm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {geom} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {quadr} }\leq {\bar {x}}_{\mathrm {kubisch} }\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

• Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten ${\displaystyle m_{p}}$ um Null recht einfach in Beziehung:

${\displaystyle {\bar {x}}(p)={\sqrt[{p}]{m_{p}}}}$

• In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

Spezialfälle

Vier Mittelwerte zweier Werte a, b:
H = Harmonisches Mittel, G = Geometrisches Mittel,
A = Arithmetisches Mittel, Q = Quadratisches Mittel

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters ${\displaystyle p}$ ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

	${\displaystyle \lim _{p\to -\infty }}$	${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle =\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	Minimum
${\displaystyle p=-1}$		${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle ={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$	Harmonisches Mittel
	${\displaystyle \lim _{p\to 0}}$	${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle ={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$	Geometrisches Mittel
${\displaystyle p=1}$		${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle ={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$	Arithmetisches Mittel
${\displaystyle p=2}$		${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle ={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$	Quadratisches Mittel
${\displaystyle p=3}$		${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$	Kubisches Mittel
	${\displaystyle \lim _{p\to \infty }}$	${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$	${\displaystyle =\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}$ mit ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}+\ldots +\omega _{n}=1}$ definieren als

${\displaystyle {M_{\omega }}^{p}=\left(\omega _{1}\cdot x_{1}^{p}+\omega _{2}\cdot x_{2}^{p}+\ldots +\omega _{n}\cdot x_{n}^{p}\right)^{1/p},}$

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel ${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{2}=\ldots =\omega _{n}={\tfrac {1}{n}}}$ verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

bzw. gewichtet zu

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\sum _{i=1}^{n}{\omega _{i}f(x_{i})}}\right)}$

Dabei ist ${\displaystyle f}$ eine Funktion von ${\displaystyle x}$; das Hölder-Mittel verwendet ${\displaystyle \,f(x)=x^{p}}$.

Weitere Beispiele:

• Sind ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geq 0}$ die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren ${\displaystyle 1}$ bis ${\displaystyle n}$, so erhält man die mittlere Rendite als ${\displaystyle f}$-Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion ${\displaystyle \,f(x)=\ln(1+x)}$.
• Sind ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ die Alter von ${\displaystyle n}$ Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als ${\displaystyle f}$-Mittel der einzelnen Alter zur Funktion ${\displaystyle \,f(x)=\mu _{x}}$; dabei bedeutet ${\displaystyle \,\mu _{x}}$ die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit ${\displaystyle \,q_{x}}$ ersetzt.

Siehe auch

• Lehmer-Mittel
• Mittelwert
• Stolarsky-Mittel, Logarithmisches Mittel

Literatur

• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
• P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Power mean. In: MathWorld (englisch).
• Weighted Power Mean und Proof auf planetmath.org (engl.)
• Examples of Generalized Mean
• Juttas Mathe-Newsletter