IEEE 754

IEEE 754
Titel	IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic
Erstveröffentlichung	1985
Letzte Ausgabe	2019

Die Norm IEEE 754 definiert Standarddarstellungen für binäre und dezimale Gleitkommazahlen in Computern und legt genaue Verfahren für die Durchführung mathematischer Operationen, insbesondere für Rundungen, fest.

Geschichte

Bis in die frühen 1970er Jahre gab es zahlreiche unterschiedliche Darstellungsformate für Gleitkommazahlen, je nach Hersteller oder Baureihe des Prozessors. Die Darstellungsformate unterschieden sich beispielsweise durch den Wertebereich der darstellbaren Zahlen, die Genauigkeit, die Unterstützung von winzigen Zahlen nahe 0, die Rundungsverfahren oder die Genauigkeit der internen Zwischenergebnisse. Diese Unterschiede führten dazu, dass Computerprogramme je nach verwendetem Computer unterschiedliche Ergebnisse lieferten.

Intel plante um 1976 für seine Mikroprozessoren eine eigene FPU und wollte die bestmögliche Lösung für die zu implementierende Arithmetik. Unter der Federführung der IEEE begannen 1977 Treffen, um Gleitkommaarithmetik für Mikroprozessoren zu normieren. Gleichzeitig mit der Entwicklung der Norm implementierte Intel die Normvorschläge weitgehend in dem Gleitkommaprozessor Intel 8087.

Um 1980 wurde die Anzahl der Vorschläge für die Norm auf zwei reduziert: Der K-C-S-Vorschlag (nach seinen Autoren Kahan, Coonen und Stone) setzte sich letztlich gegen die Alternative von DEC (F-Format, D-Format und G-Format) durch. Ein bedeutender Meilenstein auf dem Weg zur Norm war die Diskussion über die Behandlung des Unterlaufs, der bis dahin von den meisten Prozessoren vernachlässigt worden war.

IEEE 754-1985

Die erste Ausgabe der Norm wurde 1985 gemeinsam von ANSI und IEEE unter der Nummer IEEE 754-1985 verabschiedet.^[1] 1989 erschien die internationale Fassung unter der Nummer IEC-60559:1989.

Die Norm definiert zwei Grunddatenformate für binäre Gleitkommazahlen mit 32 Bit (single precision) bzw. 64 Bit (double precision) Speicherbedarf und zwei erweiterte Formate.

Unabhängig von IEEE wurden die Prinzipien dieser Darstellungsformate verwendet, um weitere Darstellungsformate zu definieren, die umgangssprachlich ebenfalls als IEEE-Zahlen bezeichnet werden, obwohl sie nicht von der Norm abgedeckt sind. Einige dieser Formate wurden in späteren Ausgaben übernommen, andere wie das 80-Bit-Format des Intel 8087 blieben herstellerspezifisch.

IEEE 754-2008

Die Überarbeitung IEEE 754-2008^[2] strich das Wort „Binary“ aus dem Namen der Norm, so dass noch „IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic“ übrig blieb.

Die Binärformate wurden von „single“ und „double“ in die systematischen „binary32“ und „binary64“ umbenannt und um die neuen Formate „binary16“ und „binary128“ ergänzt.

Die neuen Dezimalformate „decimal32“, „decimal64“ und „decimal128“ wurden aus der verwandten Norm IEEE 854-1987 Standard for radix-independent floating-point arithmetic übernommen.

Die mathematischen Grundlagen und Modellierungen wurden expliziter und präziser ausformuliert.

IEEE 754-2019

Die Überarbeitung IEEE 754-2019^[3] wurde gegenüber 2008 nur geringfügig überarbeitet, sie enthält hauptsächlich Klarstellungen, behebt erkannte Probleme und empfiehlt zusätzliche Rechenoperationen.

Allgemeines

Der numerische Wert $x$ einer Gleitkommazahl ergibt sich aus der Formel $s\cdot m\cdot b^{e}$ mit den 4 Bestandteilen:

Vorzeichen $s$ (entweder $+1$ oder $-1$ )
Mantisse $m$
Basis $b$ (entweder 2 oder 10)
Exponent $e$

Um eine Gleitkommazahl bitweise zu speichern, wird sie in 3 Bitfolgen zerlegt:

$S$ (1 Bit) für das Vorzeichen
$M$ ( $p$ Bits) für die Mantisse
$E$ ( $r$ Bits) für den Exponenten

Das Vorzeichen $s$ wird in einem Bit $S$ gespeichert, dabei markiert $S=0$ positive Zahlen und $S=1$ negative Zahlen.

Der Exponent $e$ wird als nichtnegative Binärzahl $E$ ( $E$ wird manchmal auch als Charakteristik oder biased exponent bezeichnet) gespeichert, indem man den festen Biaswert $B$ addiert: $E=e+B$ . Der Biaswert (engl: Verzerrung) berechnet sich durch $2^{r-1}-1$ . Der Biaswert $B$ dient dazu, dass negative Exponenten durch eine vorzeichenlose Zahl (die Charakteristik $E$ ) gespeichert werden können, unter Verzicht auf alternative Kodierungen wie z. B. das Zweierkomplement (vergleiche auch Exzesscode).

Die Mantisse $1\leq m<2$ ist ein Wert, der sich aus den $p$ Mantissenbits mit dem Wert $M$ als $m=1+M/2^{p}$ berechnet. Einfacher ausgedrückt denkt man sich an das Mantissenbitmuster $M$ links eine „1,“ angehängt: $m=1{,}M$ .

$s=(-1)^{S}$
$e=E-B$
$m=1{,}M=1+M/2^{p}$

Dieses Verfahren ist möglich, weil durch Normalisierung (s. u.) die Bedingung $1\leq m<2$ für alle darstellbaren Zahlen immer eingehalten werden kann. Da dann die Mantisse immer links mit „1,“ beginnt, braucht dieses Bit nicht mehr gespeichert zu werden. Damit gewinnt man ein zusätzliches Bit Genauigkeit.

Für Sonderfälle sind zwei Exponentenwerte mit speziellen Bitmustern reserviert, der Maximalwert ( $E=11\dots 111_{2}=2^{r}-1$ ) und der Minimalwert ( $E=00\dots 000_{2}=0$ ). Mit dem maximalen Exponentenwert werden die Sonderfälle NaN und ∞ kodiert. Mit Null im Exponenten werden die Gleitkommazahl 0 und alle denormalisierten Werte kodiert.

Werte außerhalb des normalen Wertebereichs (zu große bzw. zu kleine Zahlen) werden durch ∞ bzw. −∞ dargestellt. Diese Erweiterung des Wertebereichs erlaubt auch im Falle eines arithmetischen Überlaufs häufig ein sinnvolles Weiterrechnen. Neben der Zahl 0 existiert noch der Wert −0. Während ${\tfrac {1}{0}}$ das Ergebnis ∞ liefert, ergibt ${\tfrac {1}{-0}}$ den Wert −∞. Bei Vergleichen wird zwischen 0 und −0 nicht unterschieden.

Die Werte NaN (für engl. „not a number“, „keine Zahl“) werden als Darstellung für undefinierte Werte verwendet. Sie treten z. B. auf als Ergebnisse von Operationen wie ${\tfrac {0}{0}}$ oder $\infty -\infty$ auf. NaN werden in Signal-NaN (signalling NaN, NaNs) für Ausnahmebedingungen und stille NaN (quiet NaN, NaNq) unterteilt.

Als letzter Sonderfall füllen denormalisierte Zahlen (in IEEE 754r als subnormale Zahlen bezeichnet) den Bereich zwischen der betragsmäßig kleinsten normalisierten Gleitkommazahl und Null. Sie werden als Festkommazahlen gespeichert und weisen nicht dieselbe Genauigkeit auf wie die normalisierten Zahlen. Konstruktionsbedingt haben die meisten dieser Werte den Kehrwert ∞.

Zahlenformate und andere Festlegungen des IEEE-754-Standards

IEEE 754 definiert 4 Darstellungen für binäre Gleitkommazahlen, sie heißen binary16, binary32 (traditionell „single“), binary64 (traditionell „double“) und binary128. Zusätzlich erlaubt die Norm auch benutzerdefinierte erweiterte Darstellungen, die nach den gleichen Prinzipien konstruiert sind wie die vordefinierten Darstellungen.

Vor allem die Anzahl der Exponentenbits legt Maximum und Minimum der darstellbaren Zahlen fest. Die Anzahl der Mantissenbits bestimmt die relative Genauigkeit dieser Zahlen (und nur in geringem Maß das Maximum und das Minimum).

Typ	Größe (1+r+p)	Exponent (r)	Mantisse (p)	Werte des Exponenten (e)	Biaswert (B)
binary16	16 bit	5 bit	10 bit	−14 ≤ e ≤ 15	15
binary32	32 bit	8 bit	23 bit	−126 ≤ e ≤ 127	127
binary32 extended	≥ 43 bit	≥ 11 bit	≥ 31 bit	e_min ≤ −1022 e_max ≥ 1023	nicht spezifiziert
binary64	64 bit	11 bit	52 bit	−1022 ≤ e ≤ 1023	1023
binary64 extended	≥ 79 bit	≥ 15 bit	≥ 63 bit	e_min ≤ −16382 e_max ≥ 16383	nicht spezifiziert
binary128	128 bit	15 bit	112 bit	−16382 ≤ e ≤ 16383	16383

Für die angegebenen Formate ergibt sich die folgende Beschränkung des jeweiligen Zahlenbereichs, die mit der Maschinengenauigkeit $\epsilon$ bemessen wird. Die betragsmäßig kleinsten Zahlen sind hierbei nicht normalisiert. Der relative Abstand zweier Gleitkommazahlen ist größer als $\epsilon$ und kleiner gleich $2\epsilon$ . Konkret ist der Abstand (und in diesem Fall auch der relative Abstand) der Gleitkommazahl $1$ zur nächstgrößeren Gleitkommazahl gleich $2\epsilon$ . Dezimalstellen beschreibt die Anzahl der Stellen einer Dezimalzahl, die ohne Genauigkeitsverlust gespeichert werden können. Die Mantisse ist rechnerisch durch das implizite Bit um eins größer als gespeichert.

Typ	$\epsilon$	Dezimal- stellen	betragsmäßig kleinste Zahl		größte Zahl
Typ	$\epsilon$	Dezimal- stellen	normalisiert	denormalisiert	größte Zahl
binary32	2^−(23+1) ≈ 6,0 · 10⁻⁸	07 … 80	2⁻¹²⁶ ≈ 1,2 · 10⁻³⁸	2⁻²³ · 2⁻¹²⁶ ≈ 1,4 · 10⁻⁴⁵	(2−2⁻²³) · 2¹²⁷ ≈ 3,4 · 10³⁸
binary32 extended, minimum	2^−(31+1) ≈ 2,3 · 10⁻¹⁰	09 … 10	2⁻¹⁰²² ≈ 2,2 · 10⁻³⁰⁸	2⁻³¹ · 2⁻¹⁰²² ≈ 1,0 · 10⁻³¹⁷	(2−2⁻³¹) · 2¹⁰²³ ≈ 1,8 · 10³⁰⁸
binary64	2^−(52+1) ≈ 1,1 · 10⁻¹⁶	15 … 16	2⁻¹⁰²² ≈ 2,2 · 10⁻³⁰⁸	2⁻⁵² · 2⁻¹⁰²² ≈ 4,9 · 10⁻³²⁴	(2−2⁻⁵²) · 2¹⁰²³ ≈ 1,8 · 10³⁰⁸
binary64 extended, minimum	2^−(63+1) ≈ 5,4 · 10⁻²⁰	19 … 20	2⁻¹⁶³⁸² ≈ 3,4 · 10⁻⁴⁹³²	2⁻⁶³ · 2⁻¹⁶³⁸² ≈ 3,7 · 10⁻⁴⁹⁵¹	(2−2⁻⁶³) · 2¹⁶³⁸³ ≈ 1,2 · 10⁴⁹³²

Bitdarstellung einer binary32-Zahl in Big-Endian-Darstellung

Die Anordnung der Bits einer binary32 zeigt die nebenstehende Abbildung. Die bei einer Rechenanlage konkrete Anordnung der Bits im Speicher kann von diesem Bild abweichen und hängt von der jeweiligen Bytereihenfolge (little-/big-endian) und weiteren Rechnereigenheiten ab.

Die Anordnung mit Vorzeichen – Exponent – Mantisse in genau dieser Reihenfolge bringt (innerhalb eines Vorzeichenbereiches) die dargestellten Gleitkommawerte in dieselbe Reihenfolge wie die durch dasselbe Bitmuster darstellbaren Ganzzahlwerte. Damit können für die Vergleiche von Gleitkommazahlen dieselben Operationen wie für die Vergleiche von ganzen Zahlen verwendet werden. Kurz: die Gleitkommazahlen können lexikalisch sortiert werden.

Hierbei ist jedoch zu beachten, dass für steigende negative Ganzzahlwerte der entsprechende Gleitkommawert gegen minus unendlich geht, die Sortierung also umgekehrt ist.

Interpretation des Zahlenformats

Die Interpretation hängt von dem Exponenten ab. Zur Erläuterung wird mit S der Wert des Vorzeichenbits (0 oder 1), mit E der Wert des Exponenten als nichtnegative ganze Zahl zwischen 0 und E_max = 11…111 = 2^r−1, mit M der Wert der Mantisse als nichtnegative Zahl und mit B der Biaswert bezeichnet. Die Zahlen r und p bezeichnen die Anzahl der Exponentenbits und Mantissenbits.

Charakteristik	Mantisse M	Bedeutung	Salopp	Bezeichnung
E = 0	M = 0	(−1)^S × 0	±0	Null (gehört zu denorm.)
E = 0	M > 0	(−1)^S × M / 2^p × 2^1−B	±0,M × 2^1−B	denormalisierte Zahl
0 < E < 2^r−1	M >= 0	(−1)^S × (1+M / 2^p) × 2^E−B	±1,M × 2^E−B	normalisierte Zahl
E = 2^r−1	M = 0	Unendlich	±∞	Unendlich
E = 2^r−1	M > 0	keine Zahl		keine Zahl (NaN)

Null

Null repräsentiert die vorzeichenbehaftete Null. Auch Zahlen, die zu klein sind, um dargestellt zu werden (Unterlauf), werden auf Null gerundet. Ihr Vorzeichen bleibt dabei erhalten. Negative kleine Zahlen werden so zu −0,0 gerundet, positive Zahlen zu +0,0. Beim direkten Vergleich werden jedoch +0,0 und −0,0 als gleich angesehen.

Normalisierte Zahl

Die Mantisse besteht aus den ersten n wesentlichen Ziffern der Binärdarstellung der noch nicht normalisierten Zahl. Die erste wesentliche Ziffer ist die höchstwertige (d. h. am weitesten links stehende) Ziffer, die von 0 verschieden ist. Da eine von 0 verschiedene Ziffer im Binärsystem nur eine 1 sein kann, muss diese erste 1 nicht explizit abgespeichert werden; gemäß der Norm IEEE 754 werden nur die folgenden Ziffern gespeichert, die erste Ziffer ist eine implizite Ziffer oder ein implizites Bit (engl. hidden bit). Dadurch wird gewissermaßen 1 Bit Speicherplatz „gespart“.

Denormalisierte Zahl

Ist eine Zahl zu klein, um in normalisierter Form mit dem kleinsten von Null verschiedenen Exponenten gespeichert zu werden, so wird sie als „denormalisierte Zahl“ gespeichert.^[4] Ihre Interpretation ist nicht mehr ±1,mantisse·2^exponent, sondern ±0,mantisse·2^de. Dabei ist de der Wert des kleinsten „normalen“ Exponenten. Damit lässt sich die Lücke zwischen der kleinsten normalisierten Zahl und Null füllen. Denormalisierte Zahlen haben jedoch eine geringere (relative) Genauigkeit als normalisierte Zahlen; die Anzahl der signifikanten Stellen in der Mantisse nimmt zur Null hin ab.

Ist das Ergebnis (oder Zwischenergebnis) einer Rechnung kleiner als die kleinste darstellbare Zahl der verwendeten endlichen Arithmetik, so wird es im Allgemeinen auf Null gerundet; das nennt man Unterlauf der Gleitkommaarithmetik, engl. underflow. Da dabei Information verloren geht, versucht man, Unterlauf nach Möglichkeit zu vermeiden. Die denormalisierten Zahlen in IEEE 754 bewirken einen allmählichen Unterlauf (engl. gradual underflow), indem „um die 0 herum“ 2²⁴ (für single) bzw. 2⁵³ (für double) Werte eingefügt werden, die alle denselben absoluten Abstand voneinander haben und ohne diese denormalisierten Werte nicht darstellbar wären, sondern zu Unterlauf führen müssten.

Prozessorseitig sind denormalisierte Zahlen aufgrund ihres proportional seltenen Auftretens mit wenig Priorität implementiert und führen deswegen zu einer deutlichen Verlangsamung der Ausführung, sobald sie als Operand oder als Ergebnis einer Berechnung auftauchen. Um Abhilfe (z. B. für Computerspiele) zu schaffen, bietet Intel seit SSE2 die nicht IEEE-754-konforme Funktionalität an, denormalisierte Zahlen vollständig zu deaktivieren (MXCSR-Optionen „flush to zero“ und „denormals are zero“). Gleitkommazahlen, die in diesen Bereich gelangen, werden auf 0 gerundet.^[5]

Unendlich

Der Gleitkommawert Unendlich repräsentiert Zahlen, deren Betrag zu groß ist, um dargestellt zu werden. Es wird zwischen positiver Unendlichkeit und negativer Unendlichkeit unterschieden. Die Berechnung von 1,0/0,0 ergibt nach Definition von IEEE-754 „positiv Unendlich“.

Keine Zahl (NaN)

Damit werden ungültige (oder nicht definierte) Ergebnisse dargestellt, z. B. wenn versucht wurde, die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu berechnen. Einige „unbestimmte Ausdrücke“ haben als Ergebnis „keine Zahl“, zum Beispiel 0,0/0,0 oder „Unendlich“ – „Unendlich“. Außerdem werden NaNs in verschiedenen Anwendungsbereichen benutzt, um „Kein Wert“ oder „Unbekannter Wert“ darzustellen. Insbesondere der Wert mit dem Bitmuster 111…111 wird oft für eine „nicht initialisierte Gleitkommazahl“ benutzt.

IEEE 754 fordert zwei Arten von Nichtzahlen: stille NaN (NaNq – quiet) und signalisierende NaN (NaNs – signalling). Beide stellen explizit keine Zahlen dar. Eine signalisierende NaN löst im Gegensatz zu einer stillen NaN eine Ausnahme (Trap) aus, wenn sie als Operand einer arithmetischen Operation auftritt.

IEEE 754 ermöglicht dem Anwender das Deaktivieren dieser Traps. In diesem Falle werden signalisierende NaN wie stille NaN behandelt.

Signalisierende NaN können genutzt werden, um uninitialisierten Rechnerspeicher zu füllen, so dass jedes Verwenden einer uninitialisierten Variable automatisch eine Ausnahme auslöst.

Stille NaN ermöglichen den Umgang mit Rechnungen, die kein Ergebnis erzeugen können, etwa weil sie für die angegebenen Operanden nicht definiert sind. Beispiele sind die Division Null durch Null oder der Logarithmus aus einer negativen Zahl.

Stille und signalisierende NaN unterscheiden sich im höchsten Mantissenbit. Bei stillen NaN ist dieses 1, bei signalisierenden NaN 0. Die übrigen Mantissenbits können zusätzliche Informationen enthalten, z. B. die Ursache der NaN. Dies kann bei der Ausnahmebehandlung hilfreich sein. Allerdings schreibt der Standard nicht fest, welche Informationen in den übrigen Mantissenbits enthalten sind. Die Auswertung dieser Bits ist daher plattformabhängig.

Das Vorzeichenbit hat bei NaN keine Bedeutung. Es ist nicht spezifiziert, welchen Wert das Vorzeichenbit bei zurückgegebenen NaN besitzt.

Beispiel: Umwandlung von Dezimalbruch in binary32

Der Dezimalbruch 18,4 soll in die Darstellung binary32 umgewandelt werden.

Bestimmen des Exponenten: 18,4 liegt zwischen den Zweierpotenzen 16 und 32, daher ist der Exponent 4 und erfüllt die Gleichung $18{,}4=1{,}mmmmmmmm\cdot 2^{4}$ .
Bestimmen des Bias-Wertes für den Exponenten: $E=e+127=131$ , in binär 1000 0011.
Normalisieren der Mantisse: 18,4 wird durch $2^{4}$ geteilt und ergibt 1,15.
Umwandlung des Nachkommateils in Binär: 0,15 wird mit $2^{23}$ malgenommen (1.258.291,2) und auf eine ganze Zahl gerundet.
Die ganze Zahl wird ins Binärsystem umgewandelt (001 0011 0011 0011 0011 0011) und in den Ziffern der Mantisse gespeichert.
Die Bitfolgen für das Vorzeichen (0), den Exponenten (1000 0011) und die Mantisse (001 0011 0011 0011 0011 0011) werden verkettet: 0100 0001 1001 0011 0011 0011 0011 0011.

Beispiel: Umwandlung von binary32 in Dezimalbruch

Die binary32-Gleitkommazahl mit der Bitfolge 0100 0001 1001 0011 0011 0011 0011 0011 soll in einen Dezimalbruch umgewandelt werden.

Das Format binary32 zerlegt diese Bitfolge in die 3 Teile $S=0$ , $E=1000\,0011_{2}$ , $M=001\,0011\,0011\,0011\,0011\,0011_{2}$ .
Das Vorzeichenbit ist 0, daher ist die Zahl 0 oder positiv.
Die Bits des Exponenten sind weder alle 0 noch alle 1, daher handelt es sich um eine normalisierte Zahl.
Der gespeicherte Wert des Exponenten wird ins Dezimalsystem umgerechnet, es ergibt sich $E=131$ .
Aus dem gespeicherten Exponenten und dem Bias wird der tatsächliche Exponent berechnet: $e=E-{\mathit {Bias}}=131-127=4$ .
Da es sich um eine normalisierte Zahl handelt, wird die Mantisse links um die implizite 1 ergänzt, es ergibt sich $1001\,0011\,0011\,0011\,0011\,0011_{2}$ .
Die ergänzte Mantisse wird als Ganzzahl interpretiert und ins Dezimalsystem umgerechnet, es ergibt sich $9\,646\,899$ .
Die Mantisse wird durch $2^{23}$ geteilt, es ergibt sich $m=1{,}149\,999\,976\,158\,142\,089\,843\,75$ .
Der Wert der Gleitkommazahl ist $(-1)^{S}\cdot 2^{e}\cdot m$ , also $1\cdot 16\cdot 1{,}149\,999\,976\,158\,142\,089\,843\,75=18{,}399\,999\,618\,530\,273\,437\,5$ .

Die in diesem Bereich exakt darstellbaren Zahlen im Format binary32 sind:

18,399 997 711 181 640 625
18,399 999 618 530 273 437 5
18,400 001 525 878 906 25

Da die gerundete Dezimalzahl 18,4 näher an der mittleren Zahl liegt als an der nächstgrößeren, ist die kürzeste eindeutige Dezimaldarstellung für die Zahl die 18,4.

Rundungen

IEEE 754 unterscheidet zunächst zwischen binären Rundungen und binär-dezimalen Rundungen, bei denen geringere Qualitätsforderungen gelten.

Bei binären Rundungen muss zur nächstgelegenen darstellbaren Zahl gerundet werden. Wenn diese nicht eindeutig definiert ist (genau in der Mitte zwischen zwei darstellbaren Zahlen), wird so gerundet, dass das niederwertigste Bit der Mantisse 0 wird. Statistisch wird dabei in 50 % der Fälle auf-, in den anderen 50 % der Fälle abgerundet, so dass die von Knuth beschriebene statistische Drift in längeren Rechnungen vermieden wird.

Eine zu IEEE 754 konforme Implementierung muss drei weitere vom Programmierer einstellbare Rundungen bereitstellen: Rundung gegen +Unendlich (immer aufrunden), Rundung gegen −Unendlich (immer abrunden) und Rundung gegen 0 (Ergebnis immer betragsmäßig verkleinern).

Operationen

Zu IEEE 754 konforme Implementierungen müssen Operationen für Arithmetik, Berechnung der Quadratwurzel, Konversionen und Vergleiche bereitstellen. Eine weitere Gruppe von Operationen wird im Anhang empfohlen, jedoch nicht verbindlich vorgeschrieben.

Arithmetik und Quadratwurzel

IEEE 754 verlangt von einer (Hardware- oder Software-)Implementierung exakt gerundete Ergebnisse für die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zweier Operanden sowie der Operation Quadratwurzel eines Operanden. Das heißt, das ermittelte Ergebnis muss gleich demjenigen sein, das bei einer exakten Ausführung der entsprechenden Operation mit anschließender Rundung entsteht.

Weiter ist die Berechnung des Restes nach einer Division mit ganzzahligem Ergebnis gefordert. Diese Restberechnung ist definiert durch $r=x-y\cdot n$ , $n$ ganzzahlig, $|n-{\tfrac {x}{y}}|<{\tfrac {1}{2}}$ oder bei geradem $n$ auch $|n-{\tfrac {x}{y}}|={\tfrac {1}{2}}$ . Dieser Rest muss ohne Rundung exakt ermittelt werden.

Konversionen

Konversionen werden zwischen allen unterstützten Gleitkommaformaten gefordert. Bei einer Konversion in ein Gleitkommaformat mit kleinerer Genauigkeit muss wie schon unter Arithmetik beschrieben exakt gerundet werden.

Zu IEEE 754 konforme Implementierungen müssen Konversionen zwischen allen unterstützten Gleitkommaformaten und allen unterstützten ganzzahligen Formaten bereitstellen. Die ganzzahligen Formate werden in IEEE 754 jedoch nicht genauer definiert.

Zu jedem unterstützten Gleitkommaformat muss eine Operation existieren, die diese Gleitkommazahl in die exakt gerundete ganze Zahl im selben Gleitkommaformat konvertiert.

Schließlich müssen Konversionen zwischen dem binären Gleitkommaformat und einem Dezimalformat existieren, die genau beschriebenen Mindestqualitätsforderungen genügen.

Vergleiche

Gleitkommazahlen nach IEEE 754 müssen verglichen werden können. Die Norm definiert die notwendigen Vergleichsoperationen und für alle möglichen Sonderfälle (vor allem NaN, Unendlich und 0) die geforderten Ergebnisse. Gegenüber den „schulmathematischen“ Vergleichen (kleiner, gleich oder größer) kommt als mögliches Ergebnis nach IEEE 754 unordered („nicht eingeordnet“) hinzu, wenn einer der Vergleichsoperanden NaN ist. Zwei NaN gelten immer als verschieden, selbst wenn ihre Bitmuster übereinstimmen.

Empfohlene Operationen

Im Anhang der Norm werden zehn weitere Operationen empfohlen. Da sie in einer Implementierung im Grunde sowieso benötigt werden, läuft diese Empfehlung letztlich darauf hinaus, die Operationen an den Programmierer weiterzugeben. Diese Operationen sind (in C-Schreibweise): copysign(x,y), invertsign(x), scalb(y,n), logb(x), nextafter(x,y), finite(x), isnan(x), x ≠ y, unordered(x,y), class(x). Die Details der Implementierung vor allem wieder bei den Sonderfällen NaN usw. sind ebenfalls vorgeschlagen.

Ausnahmen, Flags und Traps

Treten bei der Berechnung Ausnahmen (Exceptions) auf, werden Status-Flags gesetzt. Im Standard wird vorgeschrieben, dass der Benutzer diese Flags lesen und schreiben kann. Die Flags sind „sticky“: werden sie einmal gesetzt, bleiben sie so lange erhalten, bis sie explizit wieder zurückgesetzt werden. Das Überprüfen der Flags ist beispielsweise die einzige Möglichkeit, 1/0 (=Unendlich) von einem Überlauf zu unterscheiden.

Des Weiteren wird im Standard empfohlen, Trap Handler zu ermöglichen: Tritt eine Ausnahme auf, wird der Trap Handler aufgerufen, anstatt das Status-Flag zu setzen. Es liegt in der Verantwortung solcher Trap Handler, das entsprechende Status-Flag zu setzen oder zu löschen.

Ausnahmen werden im Standard in 5 Kategorien eingeteilt: Überlauf, Unterlauf, Division durch Null, ungültige Operation und Ungenau. Für jede Klasse steht ein Status-Flag zur Verfügung.

Literatur

IEEE 754: reprinted in SIGPLAN Notices, Band 22, Nr. 2, Feb. 1987, S. 9–25
Jean-Michel Muller: Elementary functions – Algorithms and Implementation. 2. Auflage. Birkhäuser, Lyon 2006, ISBN 0-8176-4372-9.

Weblinks

Commons: IEEE 754 – Sammlung von Bildern

IEEE 754-1985
IEEE Std 754-2019 vom 22. Juli 2019
IEEE Std 754-2008. (PDF) Archiviert vom Original am 6. November 2016; abgerufen am 26. Februar 2023 (englisch).
Online-Umrechner zwischen Binär- und Dezimaldarstellung von IEEE 754-Gleitkommazahlen
Zur Geschichte: An Interview with the Old Man of Floating-Point (Reminiscences elicited from William Kahan by Charles Severance)
William Kahan: Lecture Notes on the Status of IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point-Arithmetic, 1996
David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic

Einzelnachweise

↑ "IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic," in ANSI/IEEE Std 754-1985, S. 1–20, 12. Okt. 1985, doi:10.1109/IEEESTD.1985.82928.
↑ "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic", in IEEE Std 754-2008, S. 1–70, 29. Aug. 2008, doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935.
↑ IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. In: IEEE Std 754-2019 (Revision of IEEE 754-2008). Juli 2019, S. 1–84, doi:10.1109/IEEESTD.2019.8766229 (ieee.org [abgerufen am 5. Februar 2020]).
↑ David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. In: ACM Computing Surveys. 23. Jahrgang, 1991, S. 5–48, doi:10.1145/103162.103163 (englisch, sun.com [abgerufen am 2. September 2010]).
↑ Shawn Casey: x87 and SSE Floating Point Assists in IA-32: Flush-To-Zero (FTZ) and Denormals-Are-Zero (DAZ). 16. Oktober 2008, abgerufen am 3. September 2010 (englisch).

[1] "IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic," in ANSI/IEEE Std 754-1985, S. 1–20, 12. Okt. 1985, doi:10.1109/IEEESTD.1985.82928.

[2] "IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic", in IEEE Std 754-2008, S. 1–70, 29. Aug. 2008, doi:10.1109/IEEESTD.2008.4610935.

[3] IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. In: IEEE Std 754-2019 (Revision of IEEE 754-2008). Juli 2019, S. 1–84, doi:10.1109/IEEESTD.2019.8766229 (ieee.org [abgerufen am 5. Februar 2020]).

[goldberg-4] David Goldberg: What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. In: ACM Computing Surveys. 23. Jahrgang, 1991, S. 5–48, doi:10.1145/103162.103163 (englisch, sun.com [abgerufen am 2. September 2010]).

[5] Shawn Casey: x87 and SSE Floating Point Assists in IA-32: Flush-To-Zero (FTZ) and Denormals-Are-Zero (DAZ). 16. Oktober 2008, abgerufen am 3. September 2010 (englisch).

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