Innere Metrik

In der Mathematik misst die innere Metrik oder Längenmetrik die Längen minimaler Verbindungswege zwischen Punkten.

Definition

Es sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein metrischer Raum. Die zu ${\displaystyle d}$ assoziierte innere Metrik (oder Längenmetrik) ${\displaystyle d_{i}}$ ist definiert als

${\displaystyle d_{i}(x,y)=\inf L(\sigma )}$

für ${\displaystyle x,y\in X}$, wobei das Infimum über alle rektifizierbaren Kurven ${\displaystyle \sigma \colon \left[0,1\right]\to X}$ mit ${\displaystyle \sigma (0)=x,\sigma (1)=y}$ genommen wird und ${\displaystyle L(\sigma )}$ die durch

${\displaystyle L(\sigma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\sigma (t_{i-1}),\sigma (t_{i}){\big )}\,\right|\,0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=1,r\in \mathbb {N} \right\}}$

definierte Länge der Kurve ${\displaystyle \sigma }$ ist.

Geodätische metrische Räume

→ Hauptartikel: Geodätischer metrischer Raum

Ein metrischer Raum heißt geodätischer metrischer Raum (auch Längenraum oder innerer metrischer Raum), wenn ${\displaystyle d=d_{i}}$ ist, also wenn die innere Metrik mit der Metrik ${\displaystyle d}$ übereinstimmt.

Beispiele

• Es sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle d}$ die durch

${\displaystyle d(x,y):=\inf\{L(\gamma )\mid \gamma \colon [0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}}$

für ${\displaystyle x,y\in M}$ definierte Metrik. Wenn ${\displaystyle (M,g)}$ geodätisch vollständig ist, dann ist ${\displaystyle d_{i}=d}$. (Siehe Satz von Hopf-Rinow.)

• Es sei ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ für ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle S^{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon d(x,0)=1\right\}}$. Die Einschränkung von ${\displaystyle d}$ auf ${\displaystyle S^{n-1}}$ definiert einen metrischen Raum ${\displaystyle (S^{n-1},d{\big |}_{S^{n-1}})}$. Die assoziierte innere Metrik auf ${\displaystyle S^{n-1}}$ ist

${\displaystyle d_{i}(x,y)=\arccos(\langle x,y\rangle )>d(x,y)\ \forall x\not =y}$.

Literatur

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9
• A. Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 6, European Mathematical Society 2005, 2nd ed. 2014.
• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume I, 908 p., Springer International Publishing, 2018.
• Herbert Busemann, Selected Works, (Athanase Papadopoulos, ed.) Volume II, 842 p., Springer International Publishing, 2018.

Weblinks

• Urs Lang: Length spaces.