Integralungleichung von Hadamard

Die Integralungleichung von Hadamard (englisch Hadamard's integral inequality) oder auch Ungleichung von Hadamard (englisch Hadamard inequality) ist eine der klassischen Ungleichungen der Mathematik und als solche der Analysis zugehörig. Sie geht auf eine Publikation des französischen Mathematikers Jacques Salomon Hadamard aus dem Jahre 1893 zurück und gibt eine obere und untere Abschätzung für Integrale gewisser konvexer Funktionen. Die hadamardsche Integralungleichung gab Anlass zu zahlreichen Untersuchungen und Verallgemeinerungen.^[1]

Formulierung

Die Ungleichung lässt sich angeben wie folgt:^[2]

Gegeben sei im Körper der reellen Zahlen ein kompaktes Intervall ${\displaystyle J=[a,b]\;(a,b\in \mathbb {R} \;,a<b)}$ und hierauf eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon J\to \mathbb {R} }$, deren Einschränkung ${\displaystyle f|_{J^{\circ }}}$ auf das Innere des Intervalls zudem Jensen-konvex sein soll.

Dann gilt:

${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}}$  .

Anmerkungen

• Manche Autoren bezeichnen die hadamardsche Integralungleichung – unter zusätzlicher Bezugnahme auf den dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen – als Ungleichung von Jensen-Hadamard (englisch Jensen-Hadamard inequality). Hierzu ist zu bemerken, dass die vordere Abschätzung der Integralungleichung sich als einfache Anwendung der stetigen Variante der jensenschen Ungleichung ergibt.
• Man nennt die Integralungleichung nicht selten auch Ungleichung von Hermite-Hadamard (englisch Hermite-Hadamard inequality), da sie im Wesentlichen – und zwar schon im Jahre 1881! – von dem französischen Mathematiker Charles Hermite gefunden (und sogar angekündigt) war. Dies blieb jedoch zunächst unbeachtet, ebenso wie die von Hermite dazu im Jahr 1883 in der Mathesis vorgelegte Publikation.^[3]
• Die Integralungleichung kann als der Startpunkt der Choquet-Theorie angesehen werden.^[4] Im Rahmen dieser Theorie lässt sich zeigen, dass unter den im Satz von Choquet beschriebenen Gegebenheiten eine analoge Integralungleichung gilt. Insbesondere ist dieses Analogon für jedes ${\displaystyle n}$-dimensional Simplex ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ und jedes auf ${\displaystyle \Delta }$ definierte borelsche Wahrscheinlichkeitsmaß gültig.^[5][6]

Anwendung

Indem man die Integralungleichung auf die reelle Funktion ${\displaystyle x\mapsto f(x)={\frac {1}{1+x}}\;(x\geq 0)}$ anwendet, lässt sich, wie schon Hermite in seiner Arbeit von 1883 zeigte, die folgende Ungleichung ableiten:^[7]

${\displaystyle x-{\frac {x^{2}}{2+x}}<\ln(1+x)<x-{\frac {x^{2}}{2+2x}}}$  .

Daraus ergibt sich für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n>0}$

${\displaystyle {\frac {1}{n+{\tfrac {1}{2}}}}<\ln(n+1)-\ln n<{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)}$  .

Die letztere Ungleichung führt hin zu einer Herleitung der stirlingschen Formel.^[7]

Quellen und Hintergrundliteratur

• S. S. Dragomir: Further properties of some mappings associated with Hermite-Hadamard inequalities. In: Tamkang Journal of Mathematics. Band 34, 2003, S. 45–57 (MR1960410). 
• Ivan B. Lacković, Miomir S. Stanković: On Hadamard's integral inequality for convex functions. In: Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz. Nr. 412–460, 1973, S. 89–92 (MR0349934). 
• J. Hadamard: Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann. In: J. Math. Pures Appl. (4^e série). Band 9, 1893, S. 171–215. 
• Ch. Hermite: Sur deux limites d’une intégrale définie. In: Mathesis. Band 3, 1883, S. 82. 
• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621). 
• Constantin Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. A Contemporary Approach (= CMS Books in Mathematics. Band 23). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-24300-3 (MR2178902). 
• Constantin P. Niculescu: The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable. In: Mathematical Inequalities & Applications. Band 5, 2002, S. 619–623 (MR1931222). 
• Zoltán Retkes: An extension of the Hermite-Hadamard inequality. In: Acta Sci. Math. (Szeged). Band 74, 2008, S. 95–106 (MR2431093). 

Einzelnachweise

1. Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 215 ff
2. Kuczma, op. cit. , S. 216
3. Constantin P. Niculescu, Lars-Erik Persson: Convex Functions and Their Applications. 2006, S. 50 ff
4. Niculescu/Persson, op. cit., S. 52, S. 177 ff
5. Niculescu/Persson, op. cit., S. 193 ff
6. Constantin P. Niculescu: The Hermite-Hadamard inequality for convex functions of a vector variable. Math. Inequal. Appl. 5 (2002), S. 619–623
7. Niculescu/Persson, op. cit., S. 51