Jaan Talts war als Schüler ein sehr vielseitiger Sportler. Er betrieb Leichtathletik, vor allem Kurzstreckenläufe, schwamm und spielte Volleyball. In der Landwirtschaftsschule begann er als 15-Jähriger mit dem Gewichtheben. 1963 trat er in die Armee ein. Dort machte er unter Trainer Jakow Krinitsky gute Fortschritte. 1964 wurde er sowjetischer Juniorenmeister, konnte aber das ganze Jahr 1965 wegen Knie- und Rückenproblemen keine Wettkämpfe bestreiten. 1966 belegte er bei seiner ersten Teilnahme an den sowjetischen Meisterschaften den 2. Platz im Mittelschwergewicht hinter Eduard Browko. Als großes Talent und Hoffnung für die Zukunft wurde der 22-jährige Athlet zu den Welt- und Europameisterschaften 1966 nach Berlin entsandt. Dort musste er jedoch schweres Lehrgeld bezahlen, denn er schied mit drei Fehlversuchen im Drücken ohne Platzierung aus. Jaan war jedoch nicht aufzuhalten, schloss das Jahr 1966 mit einer Dreikampfleistung von 490 kg ab und erzielte bei den sowjetischen Meisterschaften 1967 als erster Gewichtheber der Welt im Mittelschwergewicht über 500 kg. Trotzdem musste er 1968 wieder einen Rückschlag hinnehmen, denn er unterlag, als hoher Favorit startend, überraschend dem Finnen Kaarlo Kangasniemi. 1972 holte er aber den Olympiasieg in München in überzeugender Manier nach. Bemerkenswert war, wie er nach der Katastrophe in der sowjetischen Mannschaft, als nacheinander Wladimir Kanygin, Walery Schary, Boris Pawlow und David Rigert im Mittel-, Leichtschwer- und Mittelschwergewicht wegen dreier Fehlversuche in einer der Disziplinen ausschied, die Initiative übernahm, Cheftrainer Alexei Medwedew praktisch entmachtete und zusammen mit Wassili Alexejew noch zwei Goldmedaillen für die Sowjetunion erkämpfte. 1973 beendet er seine Laufbahn als aktiver Gewichtheber.
Heute lebt Jaan Talts als Geschäftsmann in Tallinn. Er übte schon mehrere Funktionen im estnischen Gewichtheber-Verband aus und betätigt sich für diesen auch als Sponsor.
(OS = Olympische Spiele, WM = Weltmeisterschaft, EM = Europameisterschaft, Ms = Mittelschwergewicht, damals bis 90 kg Körpergewicht, S = Schwergewicht, damals bis 110 kg Körpergewicht)
WM-Goldmedaillen: 1969, Stoßen, S – 1970, Drücken, S -1970, Stoßen, S – 1972, Drücken, S,
WM-Silbermedaillen: 1969, Drücken, S – 1969, Reißen, S – 1970, Reißen, S,
WM-Bronzemedaillen: 1972, Reißen, S – 1972, Stoßen, S.
EM-Goldmedaillen: 1969, Drücken, S – 1969, Reißen, S – 1969, Stoßen, S – 1970, Drücken, S 1970, Stoßen, S - - 1972, Drücken, S – 1972, Reißen, S – 1972, Stoßen, S,
EM-Bronzemedaille: 1970, Reißen, S.
Außerdem gilt der Olympiasieg 1972 im Dreikampf auch als WM-Titel.