Gemeinsam mit seinem Freund und späteren Kollegen David Duchovny besuchte er als Kind die Collegiate School in Manhattan, eine Privatschule für Jungen. Nachdem er eine Zeit lang als Model gearbeitet hatte, konnte er als Schauspieler im Film- und Fernsehgeschäft Fuß fassen. Beghe ist verheiratet und lebt in Los Angeles.
In der Rolle des homosexuellen Jeffrey Lindley, Leutnant bei der US-Navy, spielte er von Januar bis Dezember 1994 an der Seite von Doug Savant (der die Rolle des Matt Fielding spielte) in der Fernsehserie Melrose Place.
Beghe stand seit 1994 Scientology nahe und stieg nach seinem Eintritt in die Organisation in der internen Hierarchie zum Rang eines Operating Thetan Level V auf.[1] Noch 2005 war er in einem Werbefilm für die religiöse Organisation zu sehen, zeitweise fungierte er als Sprecher der Organisation.[2] Im Jahr 2007 verließ er Scientology. In einem Aufsehen erregenden Video, das Beghe auf YouTube veröffentlichte, erklärte er im Frühjahr 2008 seine Gründe für den Ausstieg und warnte vor der Organisation. Beghe galt in der Organisation als Vorzeigescientologe und ist der erste prominente Ehemalige, der sich öffentlich gegen sie wendet.[1] 2015 trat er in Alex Gibneys Dokumentarfilm Scientology: Ein Glaubensgefängnis auf, in dem er über seine Erfahrungen mit der Sekte berichtete.
Seit 2014 verkörpert er Detective Sergeant Henry „Hank“ Voight seit mittlerweile 10 Staffeln in der Fernsehserie Chicago P.D.
Im November 2017 wurde berichtet, dass Beghes Verhalten 2016 bei Dreharbeiten zu Chicago P.D. untersucht worden war. Er wurde als übermäßig aggressiv empfunden und fiel durch beleidigende Kommentare auf. Beghe veröffentlichte eine Erklärung, in der er um Entschuldigung für sein Verhalten bat.[3]
Im Dezember 2017 beantragte er nach 16 Jahren Ehe die Scheidung von seiner Frau, mit der er zwei Kinder hat.[4]